Gọi S là diện tích của một tứ giác với độ dài 4 cạnh là a,b,c,d. Chưng minh$S\leqslant \frac{a^2 +b^2 +c^2 +d^2}{4}$
Bài toán nói về sự liên hệ giữa diện và độ dài 4 cạnh của tứ giác
Bắt đầu bởi PBC A, 25-07-2012 - 17:55
#2
Đã gửi 25-07-2012 - 19:43
daovuquang
-
- Thành viên
-
- 194 Bài viết
Trung sĩ
Giải: Xét tứ giác $ABCD$ có $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$; diện tích $S$.
Ta có: $\left\{\begin{matrix}
S=S_{ABC}+S_{ACD}\leq \frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}=\frac{ab+cd}{2}\\
S=S_{ABD}+S_{BCD}\leq \frac{ad}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ad+bc}{2}
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 2S\leq\frac{ab+bc+cd+da}{2}\Rightarrow S\leq \frac{ab+bc+cd+da}{4}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}.$
Ta có: $\left\{\begin{matrix}
S=S_{ABC}+S_{ACD}\leq \frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}=\frac{ab+cd}{2}\\
S=S_{ABD}+S_{BCD}\leq \frac{ad}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ad+bc}{2}
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 2S\leq\frac{ab+bc+cd+da}{2}\Rightarrow S\leq \frac{ab+bc+cd+da}{4}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}.$
- BlackSelena và PBC A thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
