Chủ đề này có 2 trả lời

[dactai10a1]

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng \[AQ \bot OI\]

[L Lawliet]

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng \[AQ \bot OI\]

Gọi $M$ là giao điểm thứ hai của $AB$ với $(PDG)$, $N$ là giao điểm thứ hai của $AC$ và $(PFE)$.
Ta có $\widehat{AMP}=\widehat{PGD}$ và $\widehat{PGD}=\widehat{PCB}$ (đồng vị), suy ra $\widehat{AMP}=\widehat{PCB}$, suy ra tứ giác $BMPC$ nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta được tứ giác $PNCB$ nội tiếp.
Suy ra tứ giác $BMNC$ nội tiếp, suy ra $\overline{AM}.\overline{AB}=\overline{AN}.\overline{AC}$
Mà $\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}$ (định lý $Thales$)
Suy ra $\overline{AM}.\overline{AD}=\overline{AN}.\overline{AE}$
Do đó $A$ thuộc trục đẳng phương $PQ$ của $(PDG)$ và $(PEF)$ nên $AQ\perp IO$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 12-09-2012 - 12:11

[vslmat]

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng \[AQ \bot OI\]

Một cách giải khác:
Nhận thấy:
DK . KG = PK . KQ = FK. KE
Vì thế:

$\frac{FK}{KG} = \frac{DK}{KE}$ (*)

Điều này thực ra đã là đpcm vì giả sử KQ cắt BC tại X. Vì DE // BC và vì (*) nên A, Q, X thẳng hàng. A nằm trên PQ. Vì thế $AQ \perp OI$.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vslmat: 31-07-2012 - 19:47