Chủ đề này có 7 trả lời

[T M]

Bài toán. Cho $m,n$ là các hằng số dương và $x;y;z$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$P=x^2+my^2+nz^2$$

[minh29995]

Bài toán. Cho $m,n$ là các hằng số dương và $x;y;z$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$P=x^2+my^2+nz^2$$

Cân bằng hệ số:
Ta đặt các ẩn sao cho: $a+b=1, c+d=m, e+f=n$ (Với a,b,c,d,e,f không âm)
Áp dụng AM-Gm ta có:
$ax^2+cy^2\geq 2\sqrt{ac}.xy$
$bx^2+ez^2\geq 2\sqrt{be}.xz$
$dy^2+fz^2\geq 2\sqrt{df}.yz$
Để hệ số của $xy,yz,xz$ bằng nhau(Đánh giá về hằng số) thì:
$ac=be=df=k^2$
Để dấu bằng xảy ra thì:
$x\sqrt{a}=y\sqrt{c}, x\sqrt{b}=z\sqrt{e}, y\sqrt{d}=z\sqrt{f}$
Nhân từng vế sao cho 2 bên rút gọn xyz thì ta được:
$ade=cbf$ mà $adecbf=k^6$ nên
$abe=cbf=k^3$
Theo GT ta có:
$(a+b)(c+d)(e+f)=mn$
$\Leftrightarrow ac(e+f)+be(c+d)+df(a+b)+ade+bcf=mn$
$\Leftrightarrow 2k^3+(m+n+1)k^2-mn=0$
Giải PT này ta luôn tìm được k thảo mãn. Từ đó suy ra a,b,c,d,e,f

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 26-07-2012 - 20:54

[T M]

Cân bằng hệ số:
Ta đặt các ẩn sao cho: $a+b=1, c+d=m, e+f=n$
Áp dụng AM-Gm ta có:
$ax^2+cy^2\geq 2\sqrt{ac}.xy$
$bx^2+ez^2\geq 2\sqrt{be}.xz$
$dy^2+fz^2\geq 2\sqrt{df}.yz$

Từ chỗ này làm sao suy ra được $a;b;c;d;e$ không âm mà dùng AM-GM hả anh ?

[minh29995]

Từ chỗ này làm sao suy ra được $a;b;c;d;e$ không âm mà dùng AM-GM hả anh ?

Mình thiếu mất.. Thường là tìm được a,b,c,d,e,f không âm.. nếu âm thì coi như bó tay!! Mình chỉ có PP này thôi

Bài này em cũng làm được 1/2 rồi, còn 1/2 nữa

Em nghĩ được đến đây rồi :|

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a \\ y=b \\ c=z \end{matrix}\right.$. Từ đầu bài có $ab+bc+ac=1$

Ta có $\left\{\begin{matrix} ay=bx \\ cx=az \\ cy=bz \end{matrix}\right.$

Vì $a=x....$ nên hiển nhiên $ay;bx.....$ không âm

Áp dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM

$ay.bx \leq \frac{a^2y^2+b^2x^2}{2} \Longrightarrow abc(xy) \leq \frac{ca^2y^2+cb^2x^2}{2}$

Thực hiện lần lượt với các cặp còn lại ta được

$$2abc \leq \left ( ca^2+ba^2 \right )x^2+\left ( cb^2+ab^2 \right )y^2+\left ( bc^2+ac^2 \right )z^2$$

Theo đầu bài ta lần lượt có

$$\left\{\begin{matrix} ab+bc+ac=1 \\ ca^2+ba^2=\frac{cb^2+ab^2}{m}= \frac{bc^2+ac^2}{n} & & \end{matrix}\right.$$

Đến đây thì :-??

Làm thế nào chế được $a;b;c$ sang $m;n$ là ok =.=''

\
pp của a trích từ quyển APMO các năm.. Với những bài ntn thì cách này sẽ xử đc thôi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 26-07-2012 - 22:09

[T M]

Bài này em cũng làm được 1/2 rồi, còn 1/2 nữa

Em nghĩ được đến đây rồi :|

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a \\ y=b \\ c=z \end{matrix}\right.$. Từ đầu bài có $ab+bc+ac=1$

Ta có $\left\{\begin{matrix} ay=bx \\ cx=az \\ cy=bz \end{matrix}\right.$

Vì $a=x....$ nên hiển nhiên $ay;bx.....$ không âm

Áp dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM

$ay.bx \leq \frac{a^2y^2+b^2x^2}{2} \Longrightarrow abc(xy) \leq \frac{ca^2y^2+cb^2x^2}{2}$

Thực hiện lần lượt với các cặp còn lại ta được

$$2abc \leq \left ( ca^2+ba^2 \right )x^2+\left ( cb^2+ab^2 \right )y^2+\left ( bc^2+ac^2 \right )z^2$$

Theo đầu bài ta lần lượt có

$$\left\{\begin{matrix} ab+bc+ac=1 \\ ca^2+ba^2=\frac{cb^2+ab^2}{m}= \frac{bc^2+ac^2}{n} & & \end{matrix}\right.$$

Đến đây thì :-??

Làm thế nào chế được $a;b;c$ sang $m;n$ là ok =.=''

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 26-07-2012 - 21:12

[yeutoan11]

Đoán được dấu = thì tốt

[T M]

Đoán được dấu = thì tốt

Đoán thế nào được hả em ? Không đoán được mới phải đặt như trên đấy !

[hxthanh]

Bài này nếu cho $m,n$ cụ thể thì không nói làm gì. Nếu không thì ta có thể làm như sau:

Với $A,B,C,a,b,c>0$ ta có:

$A(x-ay)^2+B(y-bz)^2+C(z-cx)^2 \ge 0 $
$\Leftrightarrow (A+c^2C)x^2+(B+a^2A)y^2+(C+c^2C)z^2 \ge 2aA\,xy+2bB\,yz+2cC\,zx$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=ay,\;y=bz,\;z=cx \Rightarrow abc=1$
Như vậy ta có hệ $6$ phương trình $6$ ẩn sau:

$\begin{cases} A+c^2C=1 \\ B+a^2A=m \\ C+b^2B=n \\ aA=bB \\ bB=cC \\ abc=1\end{cases}$

Về lý thuyết hệ này giải được, nhưng nhìn rối quá!