2 replies to this topic

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{a^5}{b + c} + \dfrac{b^5}{c + a} + \dfrac{c^5}{c + a} = \dfrac{3}{2}$ . Tìm GTNN của
$$P = ab^2 + bc^2 + ca^2$$

Edited by Tham Lang, 27-07-2012 - 01:59.

[conan1shini]

ta sẽ chứng minh $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$ :
$\frac{a^{5}}{b+c}+\frac{a^{3}(b+c)}{4}\geq a^{4}$
tt còn lại
tiếp
$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$ tự chứng minh
từ hai bdt trên ta có $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$
tiếp tục $a^{4}+b^{4}+b^{4}+1\geq 4ab^{2}$
tt ta dk $4\sum ab^{2}\leq 3\sum a^{4}+3\leq 12$(đpcm)
[email protected]

[le_hoang1995]

ta sẽ chứng minh $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$ :
$\frac{a^{5}}{b+c}+\frac{a^{3}(b+c)}{4}\geq a^{4}$
tt còn lại
tiếp
$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$ tự chứng minh
từ hai bdt trên ta có $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 3$

Cách khác, theo chebusep và Nesbit:
$$\frac{3}{2}=\frac{a^5}{b+c}+\frac{b^5}{c+a}+\frac{c^5}{a+b}\geq \frac{1}{3}.(a^4+b^4+c^4).\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )$$
$$\geq \frac{1}{3}.(a^4+b^4+c^4).\frac{3}{2}=\frac{a^4+b^4+c^4}{2}$$
$$\Rightarrow 3\geq a^4+b^4+c^4$$
Làm tiếp như trên, hoặc theo Holder ta có
$$(a^3+b^3+c^3)^4\leq (a^4+b^4+c^4)^3.3\leq 3^4\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq 3$$
Dễ chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$.

$\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 3$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$