Chủ đề này có 2 trả lời

[nightshade]

$x^{3}+y^{3}+z^{^{3}}+x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{25}{64}$.cho x,y,z là 3 số thực dương.và $x+y+z=\frac{3}{2}$

[yeu meo]

Bài này có một cách rất hay sử dụng bổ đề :
Nếu $a,b,c$ là các số thực không âm thì ta luôn có :
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$$
Nhiều bạn thắc mắc là dấu "=" đâu xảy ra tại 1. Nhưng ta có thể làm như sau :
Đặt $2x=a, 2y=b, 2z=c$ suy ra $a+b+c=3$.Cần chứng minh :
$$8\left (a^3+b^3+c^3\right ) +a^2b^2c^2 \ge 25$$
Thật vậy, áp dụng AM-GM, ta có :
$8a^3+4 \ge 12a^2, 8b^3+4 \ge 12b^2, 8c^3+4 \ge 12c^2$
$a^2b^2c^2+1 \ge 2abc$
Suy ra :
$$8\left (a^3+b^3+c^3\right ) +a^2b^2c^2 \ge 12\left (a^2+b^2+c^2\right )+2abc - 13 \ge 11\left (a^2+b^2+c^2\right ) +2(ab+bc+ca)-14$$
$$=10 \left (a^2+b^2+c^2\right ) +(a+b+c)^2 -14 \ge 30+9-14 =25$$
Bài toán đã được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
Tất nhiên, $Schur$ vẫn được nhưng có vẻ hơi bị gò bó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeu meo: 27-07-2012 - 22:29

[nthoangcute]

$x^{3}+y^{3}+z^{^{3}}+x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{25}{64}$.cho x,y,z là 3 số thực dương.và $x+y+z=\frac{3}{2}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{9}{12}\left (\left (a+b+c\right )^3+9abc-4\left (a+b+c\right )\left (ab+bc+ca\right )\right )+\frac{1}{64}\left (8abc-1\right )\left (8abc-29\right ) \geq 0$$
Do $a+b+c=\frac{3}{2}$ nên $abc \leq \frac{1}{8} < \frac{29}{8}$
Suy ra BĐT được chứng minh