Chủ đề này có 2 trả lời

[axe900]

Tìm m sao cho: $\left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |\leq m$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

[E. Galois]

Tìm m sao cho: $\left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |\leq m$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

Bài toán đã cho tương đương với bài toán tìm GTLN của hàm số
$$f(x) = \left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |$$
Dễ thấy hàm số đã cho tuần hoàn theo chu kì $2\pi$. Do đó ta chỉ cần xét trên $[-\pi;\pi]$. Ta có:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
2-2(sinx+cosx)\leq 2 + 2\sqrt 2&\textbf{khi}& -\pi \leq x < -\frac{\pi}{3} \\ \\
2(cosx-sinx) \leq 2\sqrt2 &\textbf{khi}& -\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{6}\\ \\
2(sinx+cosx)-2 \leq 2\sqrt2 - 2&\textbf{khi}& \frac{\pi}{6} \leq x < \frac{\pi}{3}\\ \\
2(sinx-cosx)\leq 2\sqrt2&\textbf{khi}& \frac{\pi}{3} \leq x < \frac{5\pi}{6}\\ \\
2-2(sinx+cosx)\leq 4&\textbf{khi}& \frac{5\pi}{6} \leq x < \pi \\
\end{matrix}\right.$$
Vậy $f(x) \leq 2 + 2\sqrt 2, \forall x$. Do đó $m \geq 2 + 2\sqrt 2$

[nucnt772]

Xét hàm số: $y=\left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |,$ $x\in \mathbb{R}$
Ta có:
$y^{2}=(\left | 2cosx-1 \right |+\left | 2sinx-1 \right |)^{2}$$\leq 2[(2cosx-1)^{2}+(2sinx-1)^{2}]$$=2[6-4(sinx+cosx)].$

Ta lại có: $sinx+cosx\geq -\sqrt{2}$
$\Rightarrow -4(sinx+cosx)\leq 4\sqrt{2}$
$\Rightarrow y^{2}\leq 2[6+4\sqrt{2}]=4(\sqrt{2}+1)^{2}$
$\Rightarrow y\leq 2(\sqrt{2}+1)$

Do đó ta có: max$y=2(\sqrt{2}+1)$
ta có; y $\leq m$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\geq maxy$
$\Leftrightarrow m\geq 2(\sqrt{2}+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 29-07-2012 - 20:13