Cho a + b = 2012. Tìm Min của A = $a^a.a^b+b^a.b^b - ab$
Tìm Min của A = $a^a.a^b+b^a.b^b - ab$
Bắt đầu bởi Beautifulsunrise, 29-07-2012 - 14:44
#1
Đã gửi 29-07-2012 - 14:44
Beautifulsunrise
-
- Thành viên
-
- 450 Bài viết
Sĩ quan
- ducthinh26032011 và yeu meo thích
#2
Đã gửi 29-07-2012 - 18:15
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
Ta có $A=a^a.a^b+b^b.b^a-ab=a^{a+b}+b^{a+b}-ab=a^{2012}+b^{2012}-ab$
Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:
$(a^{2012}+b^{2012}).(1+1)^{2011}\geq (a+b)^{2012}$
$\to a^{2012}+b^{2012}\geq 1006^{2011}.2012$
Và mặt khác $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$
$\to ab \leq 1006^2$
$\to A\geq 1006^{2011}.2012-1006^2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1006$
Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:
$(a^{2012}+b^{2012}).(1+1)^{2011}\geq (a+b)^{2012}$
$\to a^{2012}+b^{2012}\geq 1006^{2011}.2012$
Và mặt khác $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$
$\to ab \leq 1006^2$
$\to A\geq 1006^{2011}.2012-1006^2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1006$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 29-07-2012 - 18:17
- BlackSelena và Beautifulsunrise thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
