Chủ đề này có 3 trả lời

[LakcOngtU]

Bài 1:Cho $a,b,c,d$ là các số dương.Tìm GTNN của biểu thức
$ A=\frac{(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)^2}{abcd}$
Bài 2:Cho $a,b$ là các số dương thỏa mãn $a^9+b^9=2$.Tìm GTNN của biểu thức $B=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 29-07-2012 - 15:16

[Mrnhan]

1) áp dụng BĐT AM-GM, ta có
$a+b\geq 2\sqrt{ab}$
$a+b+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{abc^{2}}{4}}$
$a+b+2.\frac{c}{2}+4\frac{d}{4}\geq 8\sqrt[8]{\frac{abc^{2}d^{4}}{1024}}$
từ đó, ta được
A$\geq 64$
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c/2=d/4
2) bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$a^{3}+b^{3}\geq 2ab\Leftrightarrow \left ( a^{3}+b^{3} \right )^{3}\geq 8a^{3}b^{3}$
nhân cả hai vế của BĐT này với $3\left ( a^{3}+b^{3} \right )> 0$, ta thu được
$3\left ( a^{3}+b^{3} \right )^{4}\geq 24a^{3}b^{3}\left ( a^{3}+b^{3} \right )$
để ý rằng $3a^{3}b^{3}\left ( a^{3}+b^{3} \right )=\left ( a^{3}+b^{3} \right )^{3}-\left ( a^{9}+b^{9} \right )=\left ( a^{3}+b^{3} \right )^{3}-2$
nên ta chỉ cần chứng minh ($t=a^{3}+b^{3}$):
$3t^{4}\geq 8\left ( t^{3}-2 \right )$
sử dụng BĐT AM-GM, ta có
$3t^{4}+16=t^{4}+t^{4}+t^{4}+2^{4}\geq 8t^{3}$(đpcm)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangtuNhanAnh: 31-07-2012 - 21:29

[LakcOngtU]

Bài 3:cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $3a^2+5b^2=1$.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức $A=\frac{2a^4+2b^4+12a^2b^2}{2a^2-2b^2+1}$ $(LakOngtU)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LakcOngtU: 03-08-2012 - 12:43

[Mrnhan]

Bài 3:cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $3a^2+5b^2=1$.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức $A=\frac{2a^4+2b^4+12a^2b^2}{2a^2-2b^2+1}$ $(LakOngtU)$

thay $3a^2+5b^2=1$ vào biểu thức dưới mẫu ta được:
$A=\frac{2a^4+2b^4+12a^2b^2}{5a^2+3b^2}=\frac{2a^4+2b^4+12a^2b^2}{(5a^2+3b^2)(3a^2+5b^2)}$
xét b=0 thì A=$\frac{2}{15}$
xét b#0 thì đặt x=$\frac{a^2}{b^2}$ ta đượcvới x>0
$A=\frac{2x^2+12x+2}{15x^2+34x+15}$
đạo hàm tính A'=0
lập bảng biến thiên rồi suy ra min max của A