Chủ đề này có 5 trả lời

[tkvn97]

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là một số nguyên .

[Celia]

Bình phương điều kiện đề bài cho, ta có
$n+1+n-1 +2\sqrt{n^2-1}$ nguyên, mà do n nguyên dương,
do đó để$\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ nguyên thì $2\sqrt{n^2-1}$ nguyên
Đặt : $2\sqrt{n^2-1} =m$ (m nguyên, m lớn hơn hoặc bằng 0)
$\Leftrightarrow 4(n^2-1) =m^2\Leftrightarrow (2n+m)(2n-m)=4$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n-m=2 & \\ 2n+m=2 & \end{matrix}\right.$


vậy n=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 30-07-2012 - 10:28

[triethuynhmath]

Bình phương điều kiện đề bài cho, ta có
$n+1+n-1 +2\sqrt{n^2-1}$ nguyên, mà do n nguyên dương,
do đó để [font='times new roman', ', times, serif} ']$\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ nguyên thì [/font]$2\sqrt{n^2-1}$ nguyên
Đặt :[font="times new roman, , times, serif}"] $[/font]2\sqrt{n^2-1} =m$ (m nguyên, m lớn hơn hoặc bằng 0)
$\Leftrightarrow 4(n^2-1) =m^2\Leftrightarrow (2n+m)(2n-m)=4$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n-m=2 & \\ 2n+m=2 & \end{matrix}\right.$


vậy n=1

Bạn sai rồi vì ta cần tìm n để $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$ nguyên.Lúc đầu ta giả sử tồn tại n để biểu thức nguyên => $2n+ 2\sqrt{n^2-1}$ nguyên
Nghĩa là nếu có biểu thức đó nguyên thì bình phương của biểu thức sẽ nguyên chứ không phải ta tìm n để bình phương biểu thức nguyên thì chắc chắn biểu thức đó nguyên. Chẳng hạn $k^2=2$ nguyên nhưng $\begin{bmatrix}k=\sqrt{2} \\ k=-\sqrt{2} \end{bmatrix}$ vô tỉ!!!
Chính vì vậy,một lời giải chuẩn xác là sau khi giải bạn phải thay n vào lại xem biểu thức có nguyên hay không.Và rõ ràng giá trị n bạn tìm không hề thỏa để cho biểu thức nguyên,với $n=1$ thì biểu thức đó $=\sqrt{2}$$=\sqrt{2}$ không phải số nguyên!!! Chính vì vậy không tồn tại giá trị n,bạn nhé!

[Tru09]

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là một số nguyên .

Bài làm
DKXD $n \geq 1$
Để $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là một số nguyên .
$\leftrightarrow$ $\sqrt{n-1} +\sqrt{n+1} =x$(với $x \in Z$)
$\leftrightarrow 2n +2\sqrt{n^2 -1} =x^2(1)$
Mà $x^2 và 2n \in Z , \rightarrow (1) \leftrightarrow \sqrt{n^2 -1}$ nguyên
$\leftrightarrow \sqrt{n^2 -1} =a$ với a $\in Z$
$\leftrightarrow n^2 -1 =a^2$
$\leftrightarrow n=0$ (vì 2 số chính phương là 2 số liên tiếp )
(loại do txd)

Vậy không có giá trị nào của n để $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là một số nguyên .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 29-07-2012 - 21:31

[L Lawliet]

Bài làm
DKXD n \geq 1
Để $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là một số nguyên .
$\leftrightarrow$ $\sqrt{n-1} +\sqrt{n+1} =x$(với $x \in Z$)
$\leftrightarrow 2n +2\sqrt{n^2 -1} =x^2(1)$
Mà $x^2 và 2n \in Z , \rightarrow (1) \leftrightarrow \sqrt{n^2 -1}$ nguyên
$\leftrightarrow \sqrt{n^2 -1} =a$ với a $\in Z$
$\leftrightarrow n^2 -1 =a^2$
$\leftrightarrow n=0$ (vì 2 số chính phương là 2 số liên tiếp )
(loại do txd)

Vậy không có giá trị nào của n để $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ là một số nguyên .

Em sai như lời bạn triethuynhmath nói ở trên rồi kìa: $k^2=2$ nguyên nhưng $k$ không nguyên!

[tkvn97]

Bình phương điều kiện đề bài cho, ta có
$n+1+n-1 +2\sqrt{n^2-1}$ nguyên, mà do n nguyên dương,
do đó để [font='times new roman', ', times, serif} ']$\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ nguyên thì [/font]$2\sqrt{n^2-1}$ nguyên
Đặt :[font="times new roman, , times, serif}"] $[/font]2\sqrt{n^2-1} =m$ (m nguyên, m lớn hơn hoặc bằng 0)
$\Leftrightarrow 4(n^2-1) =m^2\Leftrightarrow (2n+m)(2n-m)=4$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n-m=2 & \\ 2n+m=2 & \end{matrix}\right.$


vậy n=1

Đặt $x=\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\rightarrow x^{2}=2n+2\sqrt{n^{2}-1}\rightarrow \sqrt{n^{2}-1}=\frac{x^{2}-2n}{2}\in \mathbb{Z}$
nên $n^{2}-1$ là SPC
Dễ dàng chứng minh được $(n-1)^{2}< n^{2}-1< n^{2}$ nên không tồn tại số nguyên nào thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 30-07-2012 - 10:50