Chủ đề này có 4 trả lời

[nucnt772]

Cho phương trình:
$x^{2}-(2sin\alpha -1)x+6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1=0.$ (1)
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
với $x_{1}$, $x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình (1).

[hoangtrong2305]

Cho phương trình:
$x^{2}-(2sin\alpha -1)x+6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1=0.$ (1)
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
với $x_{1}$, $x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình (1).

$T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$T=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$

$T=(2\sin\alpha -1)^{2}-2(6\sin^{2}\alpha -\sin\alpha -1)$

$T=4\sin^{2}\alpha -4\sin\alpha +1-12\sin^{2}\alpha +2\sin\alpha +2$

$T=-8\sin^{2}\alpha -2\sin\alpha +3$

$T=-(8\sin^{2}\alpha +2.2\sqrt{2}\sin\alpha.\frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{1}{8})+\frac{25}{8}$

$T=-(2\sqrt{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}+\frac{25}{8}\leq \frac{25}{8}$

Vậy $Max_{T}=\frac{25}{8}\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{4}=0\Leftrightarrow \sin\alpha =-\frac{1}{4}\Leftrightarrow \alpha =\arcsin(-\frac{1}{4})+k2\pi ;(k\in \mathbb{Z})$

Mặt khác, có:

$\left\{\begin{matrix} -8\sin^{2}\alpha \geq -8\\ -2\sin^{2}\alpha \geq -2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow -8\sin^{2}\alpha -2\sin\alpha +3\geq -7$

$\Leftrightarrow T\geq -7$

Vậy $Min_{T}=-7\Leftrightarrow -8\sin^{2}\alpha -2\sin\alpha +3=-7\Leftrightarrow -8\sin^{2}\alpha -2\sin\alpha +10=0$

$\Rightarrow \sin \alpha =1$

$\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi ;(k \in \mathbb{Z})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 29-07-2012 - 22:58

[nucnt772]

$T=-8\sin^{2}\alpha -2\sin\alpha +3$
$T=-(8\sin^{2}\alpha -2.2\sqrt{2}\sin\alpha.\frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{1}{8})+\frac{25}{8}$

Chỗ này bạn rút dấu $"-"$ ra sai rồi.
Vậy $maxT=\frac{25}{8} \Leftrightarrow$ $sin\alpha =\frac{-1}{8}$

$\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k+1}arcsin\frac{1}{8}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Bạn xem lại GTNN đi, cách của mình ra $minT=0$ $\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{1}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 29-07-2012 - 22:05

[hoangtrong2305]

Chỗ này bạn rút dấu $"-"$ ra sai rồi.
Vậy $maxT=\frac{25}{8} \Leftrightarrow$ $sin\alpha =\frac{-1}{8}$

$\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k+1}arcsin\frac{1}{8}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Bạn xem lại GTNN đi, cách của mình ra $minT=0$ $\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{1}{2}$.

Mình lập đồ thị của hàm số $-8\sin^{2}\alpha -2\sin \alpha +3$, và đây là kết quả

Từ đồ thị, thấy rằng giá trị nhỏ nhất của $T$ phải là $-7$ chứ không thể là $0$, hoặc bạn cũng có thể thế $\sin \alpha=1$ vào $T$ bạn sẽ ra $T=-7$, nhỏ hơn cả GTNN mà bạn tìm được

[nucnt772]

Từ đồ thị, thấy rằng giá trị nhỏ nhất của $T$ phải là $-7$ chứ không thể là $0$, hoặc bạn cũng có thể thế $\sin \alpha=1$ vào $T$ bạn sẽ ra $T=-7$, nhỏ hơn cả GTNN mà bạn tìm được

Và đây là cách của mình:
Xét pt: $x^{2}-(2sin\alpha -1)x+6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1=0$ (1).
Ta có: $\Delta =(2sin\alpha -1)^{2}-4.(6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1)$ $=-20sin^{2}\alpha+5=5(-4sin^{2}\alpha +1)$
PT (1) có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$
$\Leftrightarrow -4sin^{2}\alpha +1\geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq sin\alpha \leq \frac{1}{2}$
Với điều kiện trên ta có:
$T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$=$(2sin\alpha -1)^{2}-2.(6sin^{2}\alpha -sin\alpha -1)$
=$-8sin^{2}\alpha -2sin\alpha +3$
Đặt $t=sin\alpha$, với $\frac{-1}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow T=-8t^{2}-2t+3$
Xét hàm số $f(t)=-8t^{2}-2t+3$ trên đoạn $[\frac{-1}{2};\frac{1}{2}]$
Ta có: $f'(t)=-16t-2$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{8}$
Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 0\leq f(t)\leq \frac{25}{8}$
Do đó ta có:
$maxT=\frac{25}{8}\Leftrightarrow t=\frac{-1}{8}$
$\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{-1}{8}\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k+1}arcsin\frac{1}{8}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$

$minT=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow sin\alpha =\frac{1}{2}\Leftrightarrow \alpha =(-1)^{k}\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 30-07-2012 - 14:32