Chủ đề này có 7 trả lời

[donghaidhtt]

Giải pt:$(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 29-07-2012 - 23:06

[Crystal]

Giải pt:$(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Nhận thấy ${\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5}{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5} = 1 \Rightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}^5}}}$

Đặt $t = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5}$, ta có phương trình:
\[\frac{1}{t} + t = 123 \Leftrightarrow {t^2} - 123t + 1 = 0\]

[donghaidhtt]

Nhận thấy ${\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5}{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5} = 1 \Rightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}^5}}}$

Đặt $t = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5}$, ta có phương trình:
\[\frac{1}{t} + t = 123 \Leftrightarrow {t^2} - 123t + 1 = 0\]

xong rồi phải làm thế nào vậy ạ?

[Crystal]

xong rồi phải làm thế nào vậy ạ?

Em thử làm tiếp xem sao. Anh thấy nghiệm nó hơi ác

[donghaidhtt]

Em thử làm tiếp xem sao. Anh thấy nghiệm nó hơi ác

Dạ em làm được 2 nghiệm: (theo em)
$\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123+55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123+55\sqrt{5}}}}{2}\\ x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123-55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123-55\sqrt{5}}}}{2} \end{bmatrix}$
Nhưng em thấy lạ ở:
+ Em thử lại bằng máy tính thấy nghiệm thứ 2 không thỏa mãn (mặc dù số gần đúng) (không biết máy tính có sai không)
+Ta thấy x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm. Nhưng ở đây lại không có nghiệm -x.
+ Bên wolfram lại có nghiệm đẹp là $\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\ x=\dfrac{-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ (có thể do khác cách làm nên ra khác nghiệm?)
+ Nếu đề thay 123 thành 125 chắc số đẹp hơn.
Bài này em thấy không hiểu lắm nên đăng lên, mong mọi người giải thích giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 29-07-2012 - 23:41

[Mai Duc Khai]

Dạ em làm được 2 nghiệm: (theo em)
$\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123+55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123+55\sqrt{5}}}}{2}\\ x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123-55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123-55\sqrt{5}}}}{2} \end{bmatrix}$
Nhưng em thấy lạ ở:
+ Em thử lại bằng máy tính thấy nghiệm thứ 2 không thỏa mãn (mặc dù số gần đúng) (không biết máy tính có sai không)
+Ta thấy x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm. Nhưng ở đây lại không có nghiệm -x.
+ Bên wolfram lại có nghiệm đẹp là $\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\ x=\dfrac{-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ (có thể do khác cách làm nên ra khác nghiệm?)
+ Nếu đề thay 123 thành 125 chắc số đẹp hơn.
Bài này em thấy không hiểu lắm nên đăng lên, mong mọi người giải thích giúp.

Anh Hai ơi ! Sao khi em tính ra $t$ thì thay vào rồi thì vẫn ra kết quả như wolfram nhờ ?
Xem tại đây

[donghaidhtt]

Anh làm theo cách đặt $a=\sqrt{x^{2}+1}+x; b=\sqrt{x^{2}+1}-x$, tính được a,b rồi $x=\frac{a-b}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 30-07-2012 - 00:15

[donghaidhtt]

Giải pt:$(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Giờ thì mình đã biết vì sao có nghiệm đẹp rồi :
Đặt $\sqrt{x^{2}+1}=a$ có $x^2=a^2-1$
PT: $(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$
$\Leftrightarrow (a-x)^5+(a+x)^5=123$
$\Leftrightarrow 2a^5+20a^3x^2+10ax^4=123$
$\Leftrightarrow 2a^5+20a^3(a^2-1)+10a(a^4-2a^2+1)-123=0$
$\Leftrightarrow 32a^5-40a^3+10a-123=0$
$\Leftrightarrow (a-\frac{3}{2})(32a^4+48a^3+32a^2+48a+82)=0$
$\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}$ (vì $a>0$ nên loại trường hợp 2)
$\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{4}$
$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Còn cái vấn đề cách giải trên chắc phải suy nghĩ tiếp. Cảm ơn mọi người đã giúp mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 05-08-2012 - 01:32