7 replies to this topic

[donghaidhtt]

Giải pt:$(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Edited by donghaidhtt, 29-07-2012 - 23:06.

[Crystal]

Giải pt:$(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Nhận thấy ${\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5}{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5} = 1 \Rightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}^5}}}$

Đặt $t = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5}$, ta có phương trình:
\[\frac{1}{t} + t = 123 \Leftrightarrow {t^2} - 123t + 1 = 0\]

[donghaidhtt]

Nhận thấy ${\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5}{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5} = 1 \Rightarrow {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^5} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}^5}}}$

Đặt $t = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)^5}$, ta có phương trình:
\[\frac{1}{t} + t = 123 \Leftrightarrow {t^2} - 123t + 1 = 0\]

xong rồi phải làm thế nào vậy ạ?

[Crystal]

xong rồi phải làm thế nào vậy ạ?

Em thử làm tiếp xem sao. Anh thấy nghiệm nó hơi ác

[donghaidhtt]

Em thử làm tiếp xem sao. Anh thấy nghiệm nó hơi ác

Dạ em làm được 2 nghiệm: (theo em)
$\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123+55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123+55\sqrt{5}}}}{2}\\ x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123-55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123-55\sqrt{5}}}}{2} \end{bmatrix}$
Nhưng em thấy lạ ở:
+ Em thử lại bằng máy tính thấy nghiệm thứ 2 không thỏa mãn (mặc dù số gần đúng) (không biết máy tính có sai không)
+Ta thấy x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm. Nhưng ở đây lại không có nghiệm -x.
+ Bên wolfram lại có nghiệm đẹp là $\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\ x=\dfrac{-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ (có thể do khác cách làm nên ra khác nghiệm?)
+ Nếu đề thay 123 thành 125 chắc số đẹp hơn.
Bài này em thấy không hiểu lắm nên đăng lên, mong mọi người giải thích giúp.

Edited by donghaidhtt, 29-07-2012 - 23:41.

[Mai Duc Khai]

Dạ em làm được 2 nghiệm: (theo em)
$\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123+55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123+55\sqrt{5}}}}{2}\\ x=\dfrac{\sqrt[5]{\dfrac{123-55\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[5]{\dfrac{2}{123-55\sqrt{5}}}}{2} \end{bmatrix}$
Nhưng em thấy lạ ở:
+ Em thử lại bằng máy tính thấy nghiệm thứ 2 không thỏa mãn (mặc dù số gần đúng) (không biết máy tính có sai không)
+Ta thấy x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm. Nhưng ở đây lại không có nghiệm -x.
+ Bên wolfram lại có nghiệm đẹp là $\begin{bmatrix} x=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\ x=\dfrac{-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$ (có thể do khác cách làm nên ra khác nghiệm?)
+ Nếu đề thay 123 thành 125 chắc số đẹp hơn.
Bài này em thấy không hiểu lắm nên đăng lên, mong mọi người giải thích giúp.

Anh Hai ơi ! Sao khi em tính ra $t$ thì thay vào rồi thì vẫn ra kết quả như wolfram nhờ ?
Xem tại đây

[donghaidhtt]

Anh làm theo cách đặt $a=\sqrt{x^{2}+1}+x; b=\sqrt{x^{2}+1}-x$, tính được a,b rồi $x=\frac{a-b}{2}$

Edited by donghaidhtt, 30-07-2012 - 00:15.

[donghaidhtt]

Giải pt:$(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$

Giờ thì mình đã biết vì sao có nghiệm đẹp rồi :
Đặt $\sqrt{x^{2}+1}=a$ có $x^2=a^2-1$
PT: $(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}=123$
$\Leftrightarrow (a-x)^5+(a+x)^5=123$
$\Leftrightarrow 2a^5+20a^3x^2+10ax^4=123$
$\Leftrightarrow 2a^5+20a^3(a^2-1)+10a(a^4-2a^2+1)-123=0$
$\Leftrightarrow 32a^5-40a^3+10a-123=0$
$\Leftrightarrow (a-\frac{3}{2})(32a^4+48a^3+32a^2+48a+82)=0$
$\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}$ (vì $a>0$ nên loại trường hợp 2)
$\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{4}$
$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Còn cái vấn đề cách giải trên chắc phải suy nghĩ tiếp. Cảm ơn mọi người đã giúp mình

Edited by donghaidhtt, 05-08-2012 - 01:32.