Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D ở bên trong tam giác. BD, CD cắt AC,AB tại E,F. giả sử tứ giác ADEF nội tiếp. Chứng minh : Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDF nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài này là một bài hình hay.
Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANDE la $C$
Hai đường cao trong $\Delta ABC$ BG a CH cắt nhau tại trực tâm H.
Dễ thấy A, K, H, G nằm trên một đường tròn, gọi đường tròn này là $C_{1}$
Vì tứ giác AKHG cũng như tứ giác AFDE là các tứ giác nội tiếp nên H cũng như D nằm trên một đường tròn có cung BC, các điểm nằm trên cung nhỏ BC nhìn BC dưới một góc $180^{\circ} - \angle BAC$. Gọi đường tròn này là $C_{2}$, tâm của đường tròn này là S.
$C_{1}$ và $C_{2}$ cắt nhau tại một điểm khác là N. Ta sẽ chứng minh N nằm trên $C$
Nốii AN cat $C_{2}$ tạii Q. Vì $\angle HNQ = 90^{\circ}$ nên ba điểm H, S, Q thằng hàng.
Vì thế $\angle HBQ = 90^{\circ}$, cho nên BQ // AC.
$\angle ADB = \angle NQB = \angle NAE$. Tứ giác ANDE nội tiếp. N quả thật nằm trên đường tròn $C$.
Vì đường nối tâm O của $C$ với tâm L của $C_{1}$ vuông góc vớii AS nên O nằm trên đường thẳng cố định đi qua L vuông góc với AQ cố định.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vslmat: 31-07-2012 - 19:51