Chủ đề này có 2 trả lời

[huou202]

Cho a ,b,c là các số dương . Chứng minh
$\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}\geq 9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 31-07-2012 - 08:59

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a ,b,c là các số dương . Chứng minh
$\frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}\geq 9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Ta có :
$VT= \frac{a^2+2ab+b^2}{ab}+\frac{b^2+2bc+c^2}{bc}+\frac{c^2+2ca+a^2}{ca}$
$= \frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+2+\frac{a}{c}$
$=(\frac{a}{b}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{b}{c})+(\frac{c}{a}+\frac{c}{b})+6$
$\geq \frac{4a}{b+c}+ \frac{4b}{c+a}+ \frac{4c}{a+b}+6$
$= 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+6$
$\geq 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+2.\frac{3}{2}+6$ ( Nesbit )
$= 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+9=VT$

[duongvanhehe]

Cách khác:
Sử dụng BĐT Cauchy Schwarz :
$VT\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{32}{9}.\frac{(a+b+c^{3})}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Ta sẽ đi chứng minh :
$\frac{32}{9}.\frac{(a+b+c^{3})}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 9+2\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )
\Leftrightarrow 32\left ( \frac{\sum a^{3}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+3 \right )\geq 81+18\left ( \frac{\sum a^{3}+abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1 \right )
\Leftrightarrow \frac{14\sum a^{3}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 3+\frac{18abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Nhưng BĐT này hiển nhiên đúng vì:$\frac{14\sum a^{3}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{14.3}{8}=\frac{21}{4}$
Và $3+\frac{18abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq 3+\frac{18}{8}=\frac{21}{4}$
Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$