Chủ đề này có 3 trả lời

[tkvn97]

Bài toán
Cho $\frac{xy+1}{y}=\frac{yz+1}{z}=\frac{xz+1}{x}$ . Chứng minh rằng $x=y=z$ hoặc $x^{2}y^{2}z^{2}=1$

[davildark]

$$GT \Leftrightarrow x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$$
$$(x-y)(y-z)(z-x)=(\frac{1}{z}-\frac{1}{y})(\frac{1}{x}-\frac{1}{z})(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(xyz)^2}$$
$$\Rightarrow \boxed {x^2y^2z^2=1} $$
Để CM $x=y=z$ thì mình nghĩ phải thêm DK là x y z là số dương
Thật vậy
Giả sử $x = max {a;b;c} $
Ta có
$$x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{z} \geq \frac{1}{y} \Rightarrow y \geq z$$
Tương tự ta có $ z \geq x$
$\Rightarrow$ $\boxed {x=y=z} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 31-07-2012 - 14:07

[tkvn97]

$$GT \Leftrightarrow x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$$
$$(x-y)(y-z)(z-x)=(\frac{1}{z}-\frac{1}{y})(\frac{1}{x}-\frac{1}{z})(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(xyz)^2}$$
$$\Rightarrow \boxed {x^2y^2z^2=1} $$
Để CM $x=y=z$ thì mình nghĩ phải thêm DK là x y z là số dương
Thật vậy
Giả sử $x = max {a;b;c} $
Ta có
$$x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}$$
$$ \Rightarrow \frac{1}{z} \geq \frac{1}{y} \Rightarrow y \geq z$$
Tương tự ta có $ z \geq x$
$\Rightarrow$ $\boxed {x=y=z} $

Đề đủ rồi bạn , xem lại cách giải đi nhé . Xem có lầm ở chỗ nào không hoặc chỗ nào không hợp lý
Mình biến đổi đưa về thế này : $(x-y)(y-z)(z-x)(x^{2}y^{2}z^{2}-1)=0$

[davildark]

Vậy bạn trình bày cách giải của bạn cho mình xem đi