Cho các số thực dương x,y,z,t thỏa mãn xyzt=1. Cmr:
$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}+\frac{1}{(1+t)^{2}}\geq 1$
P/s: bài này có ít nhất 3 cách giải
Cmr: $\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq 1$
Bắt đầu bởi ElenaIP97, 31-07-2012 - 15:32
#2
Đã gửi 31-07-2012 - 15:42
viet 1846
-
- Thành viên
-
- 224 Bài viết
Gà con
Ta có BĐT sau: \[\frac{1}{{{x^3} + {x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{y^3} + {y^2} + y + 1}} + \frac{1}{{{z^3} + {z^2} + z + 1}} + \frac{1}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} \ge 1\]
với $x;y;z;t>0$ và $xyz=1$
Ta có:
\[\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{{x^2} + {x^{\frac{4}{3}}} + {x^{\frac{2}{3}}} + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow {x^{\frac{4}{3}}} + {x^{\frac{2}{3}}} \ge 2x\]
BĐT cuối luôn đúng. Suy ra ta có dpcm theo bài toán trên.
với $x;y;z;t>0$ và $xyz=1$
Ta có:
\[\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{{x^2} + {x^{\frac{4}{3}}} + {x^{\frac{2}{3}}} + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow {x^{\frac{4}{3}}} + {x^{\frac{2}{3}}} \ge 2x\]
BĐT cuối luôn đúng. Suy ra ta có dpcm theo bài toán trên.
- ducthinh26032011 yêu thích
#3
Đã gửi 31-07-2012 - 16:55
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
áp dụng bổ đề:$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+y \right )^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy} \left ( \forall x,y> 0 \right )$
bổ đề này cm bằng cách biến đổi tương đương về BĐT hiển nhiên:$xy\left ( x-y \right )^{2}+\left ( 1-xy \right )^{2}\geq 0$
vậy ta được:
$\sum \frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+zt}=\frac{1}{1+\frac{1}{zt}}+\frac{1}{1+zt}=1 (đpcm))$
dấu "=" xảy ra khi và chi khi x=y=z=t=1
bổ đề này cm bằng cách biến đổi tương đương về BĐT hiển nhiên:$xy\left ( x-y \right )^{2}+\left ( 1-xy \right )^{2}\geq 0$
vậy ta được:
$\sum \frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+zt}=\frac{1}{1+\frac{1}{zt}}+\frac{1}{1+zt}=1 (đpcm))$
dấu "=" xảy ra khi và chi khi x=y=z=t=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangtuNhanAnh: 31-07-2012 - 16:55
- Phạm Hữu Bảo Chung, ducthinh26032011 và MrVirut thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#4
Đã gửi 31-07-2012 - 17:28
tim1nuathatlac
-
- Thành viên
-
- 298 Bài viết
Thượng sĩ
bài này là bài toán ngược của báo TTT2 tháng 4
#5
Đã gửi 31-07-2012 - 17:51
ElenaIP97
-
- Thành viên
-
- 90 Bài viết
Hạ sĩ
e hok có đọc báo TTT, bài này trong sách "sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh Bđt"bài này là bài toán ngược của báo TTT2 tháng 4
#6
Đã gửi 31-07-2012 - 23:47
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
báo TTT là gì thế? em không biết?e hok có đọc báo TTT, bài này trong sách "sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh Bđt"
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#7
Đã gửi 01-08-2012 - 22:00
ElenaIP97
-
- Thành viên
-
- 90 Bài viết
Hạ sĩ
Đặt $x=\frac{bc}{a^{2}};y=\frac{cd}{b^{2}};z=\frac{da}{c^{2}};t=\frac{ab}{d^{2}}$, a,b,c,d>0
Q.E.D$\Leftrightarrow \frac{a^{4}}{(a^{2}+bc)^{2}}+\frac{b^{4}}{(b^{2}+cd)^{2}}+\frac{c^{4}}{(c^{2}+da)^{2}}+\frac{d^{4}}{(d^{2}+ab)^{2}}\geq 1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$\frac{a^{4}}{(a^{2}+bc)^{2}}+\frac{c^{4}}{(c^{2}+da)^{2}}\geq \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c^2+d^2)(c^2+a^2)}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)+(c^2+d^2)(c^2+a^2)}=\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}$
Tương tự, ta có đpcm.
dẫu "=" xảy ra khi x=y=z=t=1
Q.E.D$\Leftrightarrow \frac{a^{4}}{(a^{2}+bc)^{2}}+\frac{b^{4}}{(b^{2}+cd)^{2}}+\frac{c^{4}}{(c^{2}+da)^{2}}+\frac{d^{4}}{(d^{2}+ab)^{2}}\geq 1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$\frac{a^{4}}{(a^{2}+bc)^{2}}+\frac{c^{4}}{(c^{2}+da)^{2}}\geq \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c^2+d^2)(c^2+a^2)}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)+(c^2+d^2)(c^2+a^2)}=\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}$
Tương tự, ta có đpcm.
dẫu "=" xảy ra khi x=y=z=t=1
- nthoangcute và ducthinh26032011 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
