Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
Chứng minh rằng $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$.
(Peru MO 2007)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa $\sum a\geq \sum \frac{1}{a}$. CM:$\sum a\geq \frac{3}{\sum a}+\frac{2}{abc}$
Bắt đầu bởi caovannct, 05-08-2012 - 11:58
#2
Đã gửi 05-08-2012 - 13:13
Nxb
-
- ĐHV Toán học Hiện đại
-
- 683 Bài viết
Thiếu úy
Bài này hồi xưa ở trường thi 1 lầnCho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
Chứng minh rằng $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$.
(Peru MO 2007)
Bất đẳng thức tương đương với
$$(\sum{a})^{2} \geq 3+2\frac{a+b+c}{abc}$$
Dễ chứng minh được $(a+b+c)^2 \geq 9$, do đó ta chỉ cần chứng minh
$$\frac{(a+b+c)^{2}}{3} \geq \frac{a+b+c}{abc}$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì $(a+b+c)^2 \geq (\sum{\frac{1}{a}}) \geq 3\sum{\frac{1}{ab}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 05-08-2012 - 13:14
- Poseidont, nthoangcute và ninhxa thích
#3
Đã gửi 05-08-2012 - 19:32
ntuan5
-
- Thành viên
-
- 93 Bài viết
Hạ sĩ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
