Chủ đề này có 22 trả lời

[thanhbinhlab]

C/m nếu $minC = 2\sqrt{2}$ thì ta không tìm được x

Ta có $minC = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2}{xy}= xy \Leftrightarrow x^{2}y^{2}=2$ (1)
Lại có $x^{2}+y^{2}=2$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & \\ x^2y^2=2 & \end{matrix}\right.$

Đặt $x^2=A, y^2=B$
Áp dụng định lí Viete, khi đó A và B là 2 nghiệm của $g^2-2g+2=0$ (3)

Giải ra thấy (3) vô nghiệm trong R, do đó không có giá trị nào của x, y thoả mãn $C=2 \sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhbinhlab: 07-08-2012 - 22:08

[AOM]

Thực ra còn đề thi khối A với câu tìm cực trị thế này:

Cho x, y là 2 số thực dương với $x^{2}+y^{2}=2$
$C=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+xy$
Tìm GTNN của C, dấu bằng xảy ra khi nào?

Câu này giống câu 6 đề thi khối D nhưng điều kiện khác, ai giúp em với

$C=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+xy$
$<=> C^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 + 2 + 2x^2+2y^2$
$<=>C^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 + 2(1 + x^2+2y^2)$
Áp dụng BĐT cho 2 số $\frac{x^2}{y^2}$ và $\frac{y^2}{x^2}$
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq 2 \sqrt{\frac{x^2y^2}{y^2x^2}} = 2$ (1)
Cmtt:
$\frac{x^2}{y^2}+x^2y^2\geq 2\sqrt{x^4}=2x^2$ (2)
$\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2\geq 2\sqrt{y^4}=2y^2$ (3)
(1) + (2) + (3) => $2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2)\geq 2(1+x^2+y^2)$
$<=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2\geq 1+x^2+y^2$
$<=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 +2(1+x^2+y^2)\geq 3(1+x^2+y^2)$
$<=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 +2(1+x^2+y^2)\geq 3(1+2)=9$
$=> C^2\geq 9$
$<=> C\geq 3$ ( loại -3 vì $ C \geq 0$ )
$=> Cmin=3$ khi $x^2 = y^2 = 1 <=> x=y=1$ ( loại -1 vì $x,y\epsilon R^+$)

Có sai sót thì sửa giúp e nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AOM: 07-08-2012 - 22:59

[thanhbinhlab]

$C=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+xy$
$<=> C^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 + 2 + 2x^2+2y^2$
$<=>C^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 + 2(1 + x^2+2y^2)$
Áp dụng BĐT cho 2 số $\frac{x^2}{y^2}$ và $\frac{y^2}{x^2}$
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq 2 \sqrt{\frac{x^2y^2}{y^2x^2}} = 2$ (1)
Cmtt:
$\frac{x^2}{y^2}+x^2y^2\geq 2\sqrt{x^4}=2x^2$ (2)
$\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2\geq 2\sqrt{y^4}=2y^2$ (3)
(1) + (2) + (3) => $2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2)\geq 2(1+x^2+y^2)$
$<=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2\geq 1+x^2+y^2$
$<=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 +2(1+x^2+y^2)\geq 3(1+x^2+y^2)$
$<=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+x^2y^2 +2(1+x^2+y^2)\geq 3(1+2)=9$
$=> C^2\geq 9$
$<=> C\geq 3$ ( loại -3 vì $ C \geq 0$ )
$=> Cmin=3$ khi $x^2 = y^2 = 1 <=> x=y=1$ ( loại -1 vì $x,y\epsilon R^+$)

Có sai sót thì sửa giúp e nhé

Bác này chứng minh bằng cách bình phương 2 vế lên cũng được, có điều hơi dài thôi

Thực ra cái đề nó bẫy ở này: dù rằng điều kiện có là $x^n+y^n=2$ với $n\in N$ thì bao giờ cũng chứng minh được $minC=3$ , xảy ra đẳng thức khi $x=y=1$