Chuyên đề hai đường thẳng cắt hai đường tròn và các hệ quả
Trong khi vẽ Autocad tôi phát hiện ra bài toán tôi trình bày ở dưới đây. Bài toán này đã được các bạn trong diễn đàn chứng minh. Khi nghiên cứu sâu hơn về bài toán tôi thấy nó có rất nhiều hệ quả hay. Một vài hệ quả đã được tôi trình bày rải rác trong một số topic. Tôi đã tập trung lại thành một bài báo và giới thiệu đến các bạn như một chuyên đề hình học.
Kỹ sư Đào Thanh Oai
Bài toán:
Đường thẳng a và b cắt hai đường tròn tại bốn điểm $A_1,A_2,A_3,A_4$ và $B_1,B_2,B_3,B_4$ như hình vẽ. Các đường thằng $A_1,B_1$ giao với $A_2,B_2$ tại $M_1$; $A_3,B_3$ giao với $A_4,B_4$ tại $M_2$ khi đó ta có: $\widehat{A_1M_1A_2}$=$\widehat{A_3M_2A_4}$
Chứng minh
Có $ \widehat{M_{1}B_{2}B_{1}}=\widehat{M_{2}A_{3}A_{4}}$ Do tứ giác $A_2A_3B_3B_2$ nội tiếp.
Và $\widehat{M_{1}B_{1}B_{2}}=\frac{1}{2}sd\widetilde{A_1B_4}=\frac{1}{2}.(360-sd\widetilde{A_1B_1B_4})=180 \frac{1}{2}sd\widetilde{A_1B_1B_4}=180-\widehat{A_1A_4B_4}=\widehat{M_2A_4A_3}$
(le_hoang1995-diendantoanhoc.net)
Nên ta có:
$\widehat{B_{1}M_{1}B_{2}} = 180^o - \widehat{M_{1}B_{1}B_{2}}-\widehat{M_{1}B_{2}B_{1}}$
$= 180^o - \widehat{M_{2}A_{3}A_{4}}-\widehat{M_{2}A_{4}A_{3}}$
$= \widehat{A_{3}M_{2}A_{4}}$
(anh qua- diendantoanhoc.net)
Các hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1:
Bốn điểm A,B,C,D nằm trên đường tròn tâm $O_2$, đường tròn tâm $O_1$ tiếp xúc với hai đường thẳng AD và BC lần lượt tại M và N. AB cắt CD tại I khi đó phân giác góc $\widehat{AID}$ song song với MN
Chứng minh:
Đường thẳng AD là đường thẳng a, đường thẳng BC là đường thẳng b. Điểm $A_1\equiv A$, điểm $A_4\equiv D$; Điểm $B_1\equiv B$, điểm $B_4\equiv C$; điểm $A_2\equiv A_3 \equiv M$ và $B_2\equiv B_3 \equiv N$ Theo bài toán trên ta có góc tạo bở đường thẳng MN và đường thẳng AB bằng góc tạo bởi đường thẳng MN và đường thẳng DC do vậy phân giác góc $\widehat{AID}$ song song với MN.
Hệ quả 2:
Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại I, tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với AB,AC tại M và N. Khi đó ta có MN song song với phân giác góc $\widehat{AIB}$
Chứng minh:
Đường thẳng AC là đường thẳng a, đường thẳng AB là đường thẳng b. Điểm $A_1\equiv B_1 \equiv A $, điểm $A_4\equiv C$; Điểm $B_4\equiv B$, điểm $A_2\equiv A_3 \equiv M$ và $B_2\equiv B_3 \equiv N$ Theo bài toán trên ta có góc tạo bở đường thẳng MN và đường thẳng AI bằng góc tạo bởi đường thẳng MN và đường thẳng CB do vậy phân giác góc $\widehat{AID}$ song song với MN.
Hệ quả 3:
Đường tròn tâm O và tâm $O_1$ cắt nhau tại C và B điểm A trên đường tròn tâm O, AC và AB giao với đường tròn tâm O tại M và N. Khi đó tiếp tuyến tại A sẽ song song với MN
Đường thẳng AB là đường thẳng a, đường thẳng NC là đường thẳng b. Điểm $A_1\equiv M $, điểm $B_1\equiv N$; Điểm $A_4 \equiv B_4 \equiv A $, điểm $A_2\equiv A_3 \equiv B$ và $B_2\equiv B_3 \equiv C$. Theo bài toán trên ta có góc tạo bở đường thẳng MN và đường thẳng CB sẽ bằng góc tạo bởi tiếp tuyến tại A và đường thẳng BC do vậy đường thằng MN sẽ song song với tiếp tuyến tại A.
Hệ quả 4: (Định lý Reim)
Hệ quả 5: Đường tròn tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại đỉnh A cắt hai cạnh AB,AC của tam giác tại M và N thì MN song song BC.
Chứng minh:
Đường thẳng AB là đường thẳng a, đường thẳng AC là đường thẳng b. Điểm $A_1\equiv A_2 \equiv B_1\equiv B_2 \equiv A $; Điểm $A_3 \equiv M$, điểm $B_3\equiv N $ và $A_4\equiv B $ và $B_4\equiv C $ .
Theo bài toán trên ta có góc tạo bởi hai đường thẳng $A_1B_1$ và $A_2B_2$ bằng 0 nên góc tạo bởi MN và BC cũng bằng 0 nghĩa là đường thẳng MN song song với BC
Hệ quả 6:
Một đường thẳng cắt hai đường tròn tại A,B,C,D như hình vẽ thì góc hợp bởi đường thẳng tiếp tuyến tại A và B bằng góc hợp bởi hai đường thẳng tiếp tuyến tại C và D
Hệ quả 7: Hai đường thẳng tiếp xúc nhau tại A, một đường thẳng đi qua điểm A cắt hai đường tròn tại $A_1$ và $A_2$ thì tiếp tuyến tại của hai đường tròn tại $A_1$ và $A_2$ song song với nhau
Hệ quả 8:
Nhận xét: Bài toán mở đầu chuyên đề này cũng chẳng có gì hay lắm; thực chất tuy nó mở rộng một chút được định lý Reim nhưng cũng chứng minh trực tiếp được từ định lý Reim
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 19-08-2012 - 22:22
