Chủ đề này có 2 trả lời

[robin997]

Với 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng ta luôn có: $a^5b+b^5c+c^5a\leq -3$

[nthoangcute]

Với 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng ta luôn có: $a^5b+b^5c+c^5a\leq -3$

Làm sao mà làm được bài này bạn à !
Dùng Wonfram ta thấy dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix}
a=-3\,\sqrt {\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}+4\,{\dfrac {1}{\sqrt [3]{-4+4\,i
\sqrt {3}}}}+4}-4\, \left( \dfrac{1}{4}\,\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}+{\dfrac {1}
{\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}}}+1 \right) ^{\dfrac{5}{2}}+10\, \left( \dfrac{1}{4}\,
\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}+{\dfrac {1}{\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}}}+1
\right) ^{\dfrac{3}{2}}
\\
b=\dfrac{1}{2}\,\sqrt {\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}+4\,{\dfrac {1}{\sqrt [3]{-4+4
\,i\sqrt {3}}}}+4}

\\
c=4\, \left( \dfrac{1}{4}\,\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}+{\dfrac {1}{\sqrt [3]{-4+
4\,i\sqrt {3}}}}+1 \right) ^{\dfrac{5}{2}}-10\, \left( \dfrac{1}{4}\,\sqrt [3]{-4+4\,i
\sqrt {3}}+{\dfrac {1}{\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}}}+1 \right) ^{\dfrac{3}{2}}+5
/2\,\sqrt {\sqrt [3]{-4+4\,i\sqrt {3}}+4\,{\dfrac {1}{\sqrt [3]{-4+4\,i
\sqrt {3}}}}+4}

\end{matrix}\right.$
_______________________________
Có lẽ nên bỏ lại bài này !

[Ispectorgadget]

Với 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng ta luôn có: $a^5b+b^5c+c^5a\leq -3$

Qua MathLinks thấy lời giải thế này
Từ giả thiết ta có: $c=-a-b$ và $a^2+ab+b^2=\frac{3}{2}$.
Ta cần chứng minh
$a^5b-b^5(a+b)-(a+b)^5a\leq-3\cdot\frac{8(a^2+ab+b^2)^3}{27}$,
hay $(a^3+6a^2b+3ab^2-b^3)^2\geq0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-08-2012 - 10:49