Chủ đề này có 1 trả lời

[axe900]

Cho hàm số: $y=-x^{3}+3x+2$. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có $2$ tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-08-2012 - 10:52

[nucnt772]

Xét điểm $M(m;0)\in Ox$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M$, hệ số góc $k$ có pt: $y=k.(x-m)$
$d$ là tiếp tuyến $\Leftrightarrow$ hệ pt sau có nghiệm:
$\Leftrightarrow -x^{3}+3x+2=k.(x-m)$ và $-3x^{2}+3=k$
Thế $k$ vào phương trình thứ nhất, ta được:
$3.(x^{2}-1).(x-m)-(x^{3}-3x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x+1).[3x^{2}-3.(m+1)x+3m]-(x+1).(x^{2}-x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x+1).[2x^{2}-(3m+2)x+3m+2]=0$
$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $2x^{2}-(3m+2)x+3m+2=0$ (1)
Đặt $f(x)=$$2x^{2}-(3m+2)x+3m+2$
Để từ $M$ kẻ được 3 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1
$\Leftrightarrow \Delta =(3m+2).(3m-6)> 0$ và $f(-1)=3m+3\neq 0$
$\Leftrightarrow m< \frac{-2}{3}$ hoặc $m> 2$ và $m\neq -1$
Gọi $x_{1};x_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của (1), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là:
$k_{1}=-3x_{1}^{2}+3$; $k_{2}=-3x_{2}^{2}+3$; $k_{3}=0$
Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau $\Leftrightarrow k_{1}.k_{2}=-1$
$\Leftrightarrow 9.(x_{1}^{2}-1).(x_{2}^{2}-1)=-1$
$\Leftrightarrow 9x_{1}^{2}x_{2}^{2}-9(x_{1}+x_{2})^{2}+18x_{1}x_{2}+10=0$ (2)
Theo Viet ta có: $x_{1}+x_{2}=\frac{3m+2}{2}$ và $x_{1}.x_{2}=\frac{3m+2}{2}$
$\Rightarrow (2)\Leftrightarrow$ $9.(3m+2)+10=0$
$\Leftrightarrow$ $m=\frac{-28}{27}$
Vậy $M(\frac{-28}{27};0)$ là điểm cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 11-08-2012 - 01:38