Cho các số thực a,b,c thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm max của a+b+c-abc
(Phạm Kim Hùng)
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm max của $a+b+c-abc$
Started By Math Is Love, 10-08-2012 - 19:41
#1
Posted 10-08-2012 - 19:41
#2
Posted 12-08-2012 - 21:36
Ha ha! mình cũng đỗ chuyên ĐHSPHN khoa toán nhưng không đc học!
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=3-a^{2}$
$\Leftrightarrow (b+c)^{2}-2bc = 3-a^{2}$
$\Leftrightarrow bc=\frac{(b+c)^{2}+a^{2}-3}{2}$
đặt b+c=x; bc=y
Suy ra
$a+b+c-abc = a(1-bc)+b+c = a(1-y)+x$
$= a(1-\frac{x^{2}+a^{2}-3}{2}) + x$
Đặt A = a+b+c-abc
$\Rightarrow 2A = -x^{2}a + 2x + a(5-a^{2})$
$\Delta ' = 1+a^{2}(5-a^{2})-2A.a\geq 0$
$\Leftrightarrow -a^{3}+5a+\frac{1}{a}\geq 2A$
Giờ ta Tìm max của $-a^{3}+5a+\frac{1}{a}$
với $-\sqrt{3}\leq a\leq \sqrt{3}$
Xét:
$f(x)=-x^{3}+5x + \frac{1}{x}$
thì:
$f'(x)=(-3x^{2}+5-\frac{1}{x^{2}})$
$f' = 0$ nên $-3x^{4}+5x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{6}$
khảo sát bằng lập bảng biến thiên.
Suy ra Max $f(a)$ đạt được khi a=$\sqrt{\frac{5+\sqrt{13}}{6}}$
Khi đó bạn tìm được A; rồi tìm b và c
Mình chưa làm xong nên bạn chịu khó chút nha!
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=3-a^{2}$
$\Leftrightarrow (b+c)^{2}-2bc = 3-a^{2}$
$\Leftrightarrow bc=\frac{(b+c)^{2}+a^{2}-3}{2}$
đặt b+c=x; bc=y
Suy ra
$a+b+c-abc = a(1-bc)+b+c = a(1-y)+x$
$= a(1-\frac{x^{2}+a^{2}-3}{2}) + x$
Đặt A = a+b+c-abc
$\Rightarrow 2A = -x^{2}a + 2x + a(5-a^{2})$
$\Delta ' = 1+a^{2}(5-a^{2})-2A.a\geq 0$
$\Leftrightarrow -a^{3}+5a+\frac{1}{a}\geq 2A$
Giờ ta Tìm max của $-a^{3}+5a+\frac{1}{a}$
với $-\sqrt{3}\leq a\leq \sqrt{3}$
Xét:
$f(x)=-x^{3}+5x + \frac{1}{x}$
thì:
$f'(x)=(-3x^{2}+5-\frac{1}{x^{2}})$
$f' = 0$ nên $-3x^{4}+5x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{6}$
khảo sát bằng lập bảng biến thiên.
Suy ra Max $f(a)$ đạt được khi a=$\sqrt{\frac{5+\sqrt{13}}{6}}$
Khi đó bạn tìm được A; rồi tìm b và c
Mình chưa làm xong nên bạn chịu khó chút nha!
Edited by kobietlamtoan, 12-08-2012 - 21:43.
- WhjteShadow and Breathless like this
Nghiêm Văn Chiến 97
#3
Posted 28-08-2012 - 23:37
bài này có trong Sáng tạo bất đẳng thức của anh Hùng,đã có ng làm ra trc rồi?
Toán - Toán - Toán
#4
Posted 04-09-2012 - 21:15
Mình k biết có hay k! nhưng bài này là tự mình nghĩ ra chứ k sao chép của ai khác! có lẽ mình sẽ xem cách giải trong sách xem có giống kbài này có trong Sáng tạo bất đẳng thức của anh Hùng,đã có ng làm ra trc rồi?
- WhjteShadow likes this
Nghiêm Văn Chiến 97
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users