Chủ đề này có 1 trả lời

[loze]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $n^{2}+3^{n}$ là số chính phương

[nguyenta98]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $n^{2}+3^{n}$ là số chính phương

Vì nó dễ chứ sao nữa bạn
Giải như sau:
$n^2+3^n=x^2 \Rightarrow 3^n=(x-n)(x+n) \Rightarrow x-n=3^b,x+n=3^a,n=a+b$ với $a,b\geq 0$
Suy ra $n=\dfrac{3^a-3^b}{2}$ mà $n=a+b$
Nên $\dfrac{3^a-3^b}{2}=a+b \Rightarrow 3^a-3^b=2(a+b)$
Thấy $a>b$ nên $a=b+k$ với $k$ nguyên dương suy ra $3^b(3^k-1)=2(2b+k)=4b+2k$ $(1)$
TH1: $k=0 \Rightarrow 3^b(3^k-1)=0 \Rightarrow 4b+2k=0$ vô lý do $b\geq 0, k>0$
TH2: $k\neq 0$ suy ra $3^b(3^k-1)-3^b-(3^k-1)+1=(3^b-1)(3^k-1-1)\geq 0$
Suy ra $3^b(3^k-1)\geq 3^b+3^k-1-1$
Hay $4b+2k\geq 3^b+3^k-1-1=3^b-1+3^k-1$
$\boxed{\text{KN1}}$ Nếu $b=0$ thế vào $(1)$ có ngay $3^k-1=2k$ suy ra $k=1$ vì nếu $k\geq 2$ thì cm bằng quy nạp có $3^k-1>2k$ vô lý
$\boxed{\text{KN2}}$ Nếu $b=1$ thế vào $(1)$ có ngay $3(3^k-1)=4+2k \Rightarrow 3^{k+1}=7+2k \Rightarrow k=1$ vì nếu $k\geq 2$ chứng minh bằng quy nạp suy ra $3^{k+1}>7+2k$
$\boxed{\text{KN3}}$ Nếu $b\geq 2$ ta có $4b<3^b-1$ (cm quy nạp) do đó $2k>3^k-1$ (hai BDT ngược chiều) suy ra loại vì nếu $k=1$ thì dấu $=$ xảy ra còn nếu $k\geq 2$ thì $2^k<3^k-1$ vô lý
Như vậy ta chỉ có $(b,k)=(0,1),(1,1) \Rightarrow (a,b)=(1,0),(1,2) \Rightarrow n=\dfrac{3^a-3^b}{2}=1,3$
Vậy $\boxed{n=1,3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-08-2012 - 09:44