Edited by binhmetric, 13-08-2012 - 16:15.
CMR: $MN$ $\leq$ Max{AB, BC, CA}
#1
Posted 12-08-2012 - 17:10
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Posted 12-08-2012 - 18:11
Mình không hiểu đề ở chỗ: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$.Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$
Chỗ này là thế nào nhỉ ?
Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực
#3
Posted 12-08-2012 - 18:18
Tức là $MN$ luôn $\leq$ tại các giá trị max của $AB,BC,CA$Mình không hiểu đề ở chỗ: $MN$ $\leq$ $Max {AB, BC, CA}$.
Chỗ này là thế nào nhỉ ?
Kí hiệu đúng ra phải là $MN \leq max\begin{Bmatrix}
AB,BC,CA
\end{Bmatrix}$
- C a c t u s and yellow like this
#4
Posted 12-08-2012 - 21:23
Mình làm thế này không biết có đúng không ???Cho $\Delta ABC$; $M, N$ là hai điểm bất kì trong tam giác đó. CMR: $MN$ $\leq$ $max{AB, BC, CA}$
1: Mình sẽ chứng minh các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Giả sử điều ngược lại :
Các đường thẳng qua A.B.C // MN đều không cắt cạnh đối diện .
Không mất tính tổng quát, ta đặt MN \cap AB , BC = G, H
Từ điều giả sử$ \rightarrow \angle BGH > \angle BAC$
$\rightarrow \angle GHC > \angle ACB$
Mà$ \angle ABC :\text{chung}$
$\rightarrow \angle BGH +\angle GHC +\angle ABC > 180^o$
$\rightarrow$ Trái với định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác
$\rightarrow$ ĐIều giả sử sai
Vậy các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Hạ CI // MN
Dễ thấy $MN \leq CI$
Mà 1 trong 2$ \angle BIC , \angle AIC > 90^o$
$\rightarrow CI \leq AC$ hoặc $BC$
vậy $MN \leq AC$ hoặc $BC$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$
- C a c t u s, Beautifulsunrise and yellow like this
#5
Posted 12-08-2012 - 21:32
Bài chú c/m đúng rồi . Nhưng chưa chặt chẽ lắm. Đoạn cuối thật sự là 1 bổ đề quen thuộc.Mình làm thế này không biết có đúng không ???
1: Mình sẽ chứng minh các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Giả sử điều ngược lại :
Các đường thẳng qua A.B.C // MN đều không cắt cạnh đối diện .
Không mất tính tổng quát, ta đặt MN \cap AB , BC = G, H
Từ điều giả sử$ \rightarrow \angle BGH > \angle BAC$
$\rightarrow \angle GHC > \angle ACB$
Mà$ \angle ABC :\text{chung}$
$\rightarrow \angle BGH +\angle GHC +\angle ABC > 180^o$
$\rightarrow$ Trái với định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác
$\rightarrow$ ĐIều giả sử sai
Vậy các đường thẳng // MN tại A,B,C luôn có ít nhất 1 đường cắt cạnh đối diện
Hạ CI // MN
Dễ thấy $MN \leq CI$
Mà 1 trong 2$ \angle BIC , \angle AIC > 90^o$
$\rightarrow CI \leq AC$ hoặc $BC$
vậy $MN \leq AC$ hoặc $BC$
Vậy $\rightarrow Q.E.D$
Cho $\triangle ABC$, cho điểm $M$ bất kì nằm trên $BC$. Khi đó có $AM \leq max\begin{Bmatrix} AB,AC \end{Bmatrix}$
Chứng minh cũng đơn giản, từ giả thiết $\Rightarrow max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} \geq 90^o$
Nếu $max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} = \angle AMC$ thì $AC>AM$
Nếu $max\begin{Bmatrix} \angle AMB, \angle AMC \end{Bmatrix} = \angle AMB$ thì $AB>AM$
Vậy ta luôn có $AM \leq max\begin{Bmatrix} AB,AC \end{Bmatrix}$
Edited by BlackSelena, 12-08-2012 - 21:32.
- C a c t u s, Beautifulsunrise and yellow like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users