Chủ đề này có 2 trả lời

[minhdat881439]

Giải phương trình:
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^{2}}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^{2}}}=2(x-1)^{4}(2x^{2}-4x+1)$

[dactai10a1]

Giải phương trình:
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^{2}}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^{2}}}=2(x-1)^{4}(2x^{2}-4x+1)(1)$

$PT \Leftrightarrow 4{(x - 1)^8}{\left[ {2{{(x - 1)}^2} - 1} \right]^2} = 2 + 2\sqrt {{{(x - 1)}^2}} $
Đặt $t = {(x - 1)^2} \ge 0$,ta có

$\begin{array}{l}
4{t^4}{(2t - 1)^2} = 2 + 2\sqrt t \Leftrightarrow 16{t^6} - 16{t^5} + 4{t^4} - 2\sqrt t - 2 = 0\\
\Leftrightarrow 16{t^5}(t - 1) + 2(2{t^4} - 2 - \sqrt t + 1) = 0\\
\Leftrightarrow 16{t^5}(t - 1) + 2\left[ {2(t - 1)({t^3} + {t^2} + t + 1) - \frac{{t - 1}}{{1 + \sqrt t }}} \right] = 0\\
\Leftrightarrow (t - 1)(16{t^5} + 4{t^3} + 4{t^2} + 4t + 4 - \frac{2}{{1 + \sqrt t }}) = 0
\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{16{t^5} + 4{t^3} + 4{t^2} + 4t + 4 - \frac{2}{{1 + \sqrt t }} = 0}\\
{t = 1}
\end{array}} \right.$
Ta có $\begin{array}{l}

t \ge 0 \Rightarrow 1 + \sqrt t \ge 1 > \frac{1}{2} \Rightarrow 4 - \frac{2}{{1 + \sqrt t }} > 0\\
\Rightarrow 16{t^5} + 4{t^3} + 4{t^2} + 4t + 4 - \frac{2}{{1 + \sqrt t }} > 0
\end{array}$
Vậy t=1,suy ra x=2 hoặc x=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 13-08-2012 - 10:37

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $0 \leq x \leq 2$

Ta sẽ biến đổi từng vế:
$VT - 2= (\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} - 1) + (\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} - 1)$

$ = \sqrt{2x - x^2} \left (\dfrac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} + 1} \right)$

$ = \sqrt{2x - x^2}.\dfrac{\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} - \sqrt{1+ \sqrt{2x - x^2}}}{(\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} + 1)(\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} + 1)} $

$= \sqrt{2x - x^2}.\dfrac{1 - \sqrt{2x - x^2} - (1 + \sqrt{2x - x^2})}{(\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} + 1)(\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} + 1).f(x)} $

$= 2(x^2 - 2x)\dfrac{1}{(\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} + 1)(\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} + 1).f(x)} $

(Với $f(x) = (\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} + \sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}})$)

Mặt khác:
$VF - 2 = 2(x - 1)^4 \left[2(x - 1)^2 - 1 \right] - 2 = 2\left[2(x - 1)^6 - (x - 1)^4 - 1 \right]$

$= 2(x^2 - 2x) \left[2(x - 1)^4 + (x - 1)^2 + 1 \right] = 2(x^2 - 2x)\left[2(x - 1)^4 + (x - 1)^2 + 1 \right]$

Dễ thấy: $x = 0$ và $x = 2$ là 2 nghiệm của phương trình.

Với $0 < x < 2$, phương trình tương đương:
$\dfrac{1}{(\sqrt{1 + \sqrt{2x - x^2}} + 1)(\sqrt{1 - \sqrt{2x - x^2}} + 1).f(x)} = 2\left[2(x - 1)^4 + (x - 1)^2 + 1 \right] \, (2)$

Nhận thấy:
$VT < 1 \leq VF$

Do đó, (2) vô nghiệm.