Chủ đề này có 1 trả lời

[tieulyly1995]

Bài 1 :
Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$. Tìm ƯCLN của các số $C_{2n}^{1}, C_{2n}^{3},...,C_{2n}^{2n-1}$

[dactai10a1]

Bài 1 :
Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$. Tìm ƯCLN của các số $C_{2n}^{1}, C_{2n}^{3},...,C_{2n}^{2n-1}$

Ta có công thức $C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 1} = {2^{2n - 1}}$
Suy ra ước chung các số đó có dạng ${2^p}$
Giả sử $n = {2^k}q(q = 2h + 1) \Rightarrow C_{2n}^1 = {2^{k + 1}}q$ nên ước chung phải $ \le {2^{k + 1}}$
Ta sẽ chứng minh ước chung lớn nhất là ${2^{k + 1}}$
Ta có $C_{{2^{k + 1}}q}^p = \frac{{{2^{k + 1}}q}}{p}C_{{2^{k + 1}}q - 1}^{p - 1}\forall p = 1,3,5,...2n - 1 \Rightarrow C_{{2^{k + 1}}q}^p \vdots {2^{k + 1}}\forall p = 1,3,5,...2n - 1 \Rightarrow dpcm$