Chủ đề này có 10 trả lời

[beontop97]

1. Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab + bc + ca > 0$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}} \geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$.

2. Cho ba số thực dương $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng: $\left ( \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right )^{2}\geq \left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 09:10

[caovannct]

1. Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab + bc + ca > 0$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}} \geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$.

2. Cho ba số thực dương $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng: $\left ( \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right )^{2}\geq \left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$.

mình thử bài 2 trước xem sao. Hơi thủ công tí.
Ta có BĐT (2) tương đương với $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Theo AM - GM thì $\frac{1}{2}(\frac{a^2}{b^2}+1)\geq \frac{a}{b}$.
Tương tự như vậy ta có $\frac{1}{2}(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+3)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT$\frac{1}{2}(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2})+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\geq \frac{9}{2}$
Theo AM - GM thì $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}+\frac{b}{a}\geq 3$.Tương tự như vậy ta có đpcm.
OKK?

[no matter what]

có 1 bài tương tự bài 1,CM với mọi a,b,c dương, ta có BĐT $\sum \frac{a}{a^2+2bc}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$,mọi người thử xem?

[viet 1846]

Bài 1: \[ineq \Leftrightarrow \sum {a\left[ {\frac{1}{{{b^2} + bc + {c^2}}} - \frac{1}{{ab + bc + ca}}} \right]} \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow \sum {a\left[ {\frac{{b\left( {a - b} \right) + c\left( {a - c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} \right]} \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow \sum {\left[ {\frac{{ab\left( {a - b} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{ab\left( {b - a} \right)}}{{{c^2} + ac + {a^2}}}} \right]} \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow \sum {\left[ {\frac{{ab\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + ac + {a^2}} \right)}}} \right]} {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\]

Luôn đúng.

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 1:chỉ đơn thuần là áp dụng Cauchy-Schwarz

có 1 bài tương tự bài 1,CM với mọi a,b,c dương, ta có BĐT $\sum \frac{a}{a^2+2bc}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$,mọi người thử xem?

Giả sử c=min{a.b.c} BĐT $\Leftrightarrow \frac{c(a-b)^{2}(2a^{2}+3ab+2b^{2}-2ac-2bc)}{a^{2}+2bc}+\frac{c(c-a)(c-b)}{c^{2}+2ab}\geq $(đúng)

[viet 1846]

có 1 bài tương tự bài 1,CM với mọi a,b,c dương, ta có BĐT $\sum \frac{a}{a^2+2bc}\leq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$,mọi người thử xem?

\[ineq \Leftrightarrow \sum {\frac{{a\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}}{{{a^2} + 2bc}}} \ge 0\]

Đúng theo $V.S.Schur$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

\[ineq \Leftrightarrow \sum {\frac{{a\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}}{{{a^2} + 2bc}}} \ge 0\]

Đúng theo $V.S.Schur$

Theo bạn đây là Vornicu Schur thì bạn phải chứng minh $(\frac{a}{a^{2}+2bc};\frac{b}{b^{2}+2ca};\frac{c}{c^{2}+2ab})$ là 1 dãy đơn điệu

[viet 1846]

Theo bạn đây là Vornicu Schur thì bạn phải chứng minh $(\frac{a}{a^{2}+2bc};\frac{b}{b^{2}+2ca};\frac{c}{c^{2}+2ab})$ là 1 dãy đơn điệu

Vornicu Schur đâu chỉ có 1 tiêu chuẩn đâu bạn!

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bạn có thể giải chi tiết hơn được không

[Secrets In Inequalities VP]

1. Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab + bc + ca > 0$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}} \geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$.

Cách khác :
$VT= \frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}$
$\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab^2+a^2b+bc^2+c^2b+ac^2+c^2a+3abc}= \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$= \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

[no matter what]

Cách khác :
$VT= \frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}$
$\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab^2+a^2b+bc^2+c^2b+ac^2+c^2a+3abc}= \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$= \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

cách này anh HA QUOC DAT cung co noi qua roi ?chỉ đơn thuần là CS