CM với mọi số dương a,b,c $\sum \frac{b^2+c^2}{a(b+c)}\geq 3.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
$\sum \frac{b^2+c^2}{a(b+c)}\geq 3.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
Bắt đầu bởi no matter what, 19-08-2012 - 12:14
#2
Đã gửi 19-08-2012 - 12:31
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Áp dụng CS, ta có :CM với mọi số dương a,b,c $\sum \frac{b^2+c^2}{a(b+c)}\geq 3.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$
$$\sum \dfrac{b^2+c^2}{a(b+c)} =\sum \dfrac{\left (b^2+c^2\right )^2}{a(b+c)\left (b^2+c^2\right )} \ge \dfrac{4\left (a^2+b^2+c^2\right )^2}{\sum a(b+c)\left (b^2+c^2\right )}$$
Ta sẽ chứng minh :
$$4\left (a^2+b^2+c^2\right )(ab+bc+ca) \ge 3\sum a(b+c)\left (b^2+c^2\right )$$
$$\Leftrightarrow ab\left (a^2+b^2\right ) +bc\left (b^2+c^2\right )+ca\left (c^2+a^2\right ) \ge 2abc(a+b+c)$$
Thật vậy , áp dụng AM-GM, ta có :
$$ab\left (a^2+b^2\right ) +bc\left (b^2+c^2\right )+ca\left (c^2+a^2\right ) \ge 2\left (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right ) \ge 2abc(a+b+c)$$
- no matter what yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
