Chủ đề này có 5 trả lời

[namcpnh]

Giải phương trình :$x^{y}+y=y^{x}+x$ với $x,y\in \mathbb{Z}^{+}$

Mong mọi người chỉ phương pháp giải các bài dạng này luôn.

[SpecialBoy]

nếu x=y thì vô số nghiệm. khi đó pt đó luôn đúng

[minhtuyb]

Giải phương trình :$x^{y}+y=y^{x}+x\ (*)$ với $x,y\in \mathbb{Z}^{+}$

Mong mọi người chỉ phương pháp giải các bài dạng này luôn.

*Với $x,y\le 2$ ta tìm được các cặp số $(1;1);(1;2);(2;1);(2;2)$ thỏa mãn $(*)$
*Với $x,y \ge 3$. Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y\ge 3$. Ta sẽ c/m $VT(*)\le VP(*)$
+) Có: $y\le x\ (1)$ theo điều giả sử
+) Cần c/m: $x^y\le y^x$. Thật vậy:
-Xét hàm số $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\ \ (x>0)$ có:
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow x=e$
-Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $(e;+\infty)$
Vậy $\forall x,y$ thỏa mãn $x\ge y>e\Rightarrow f(y)\ge f(x)\\ \Leftrightarrow \dfrac{\ln y}{y}\ge\dfrac{\ln x}{x}\\ \Leftrightarrow x\ln y\ge y\ln x\\ \Leftrightarrow x^y\le y^x\ (2)$

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ suy ra $ VT(*)\le VP(*)$ với $x\ge y\ge 3$.
Theo giả thiết BĐT trên xảy ra ở dấu bằng nên $x=y$
K/L: Phương trình đã cho có nghiệm $(1;2);(2;1);(k;k)$ với $k\in \mathbb{Z}^{+}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 20-08-2012 - 19:46

[SpecialBoy]

2;3 và 3;2 nữa bạn ah

[dactai10a1]

Mình không định spam,cho mình hỏi nếu là phương trình ${x^y} - x = {y^x} + y$ thì giải ra sao

[SpecialBoy]

giải như bạn ở trên. x>y vt<vp. y<x thì ngược lại. pt này vô nghiệm