Chủ đề này có 3 trả lời

[N H Tu prince]

Giải hệ phương trình:
1.$x+y+z=0$
$x^2+y^2+z^2=10$
$x^7+y^7+z^7=350$
2.$2x+x^2y=y$
$2y+y^2z=z$
$2z+z^2x=x$
3.$(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=y^7+1$
$(y+1)(y^2+1)(y^4+1)=x^7+1$

[minhdat881439]

Giải hệ phương trình:
3.$(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=y^7+1$
$(y+1)(y^2+1)(y^4+1)=x^7+1$

Nhận xét:dễ thấy x=y=0 hoặc x=y=-1
là nghiệm của hệ phương trình vì vậy ta xét các trường hợp như sau:
+Xét $x> 0$,ta có:
$(1)\Rightarrow (1+x)(1+x^{2}(1+x^{4})=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}> 1+x^{7}\Rightarrow y> x$ thế vào (2) ta có:
$(2)\Rightarrow 1+y+y^{2}+y^{3}+y^{4}+y^{5}+y^{6}+y^{7}> 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}> 1+x^{7}\Rightarrow x> y$
Từ đó suy ra hệ vô nghiệm, tương tự $y> 0$ hệ vô nghiệm
+Xét $x< -1\Rightarrow 1+x^{7}< 0\Rightarrow 1+y< 0\Rightarrow y< -1$ mà $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}> 1+x^{7}\Rightarrow y> x$ tương tự $y< -1,ta có x> y$.Vậy hệ vô nghiệm
+Xét $-1< x< 0$ chứng minh tương tự ta có hệ vô nghiệm
Vạy hệ có nghiệm (0;0),(-1;-1)

[nthoangcute]

1. Áp dụng Đẳng thức siêu đẹp sau:
$$x^7+y^7+z^7=7xyz(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)^2$$
với $x+y+z=0$
Từ đó ta được $xyz(10+xy+yz+zx)^2=50$
Do $x^2+y^2+z^2=10$ và $x+y+z=0$
Suy ra $xy+yz+zx=-5$
Từ đó ta được $xyz=2$
Suy ra $x,y,z$ là các nghiệm của phương trình:
$X^3-5X+2=0$
Hay $X\in\{2,\sqrt{2}-1,-\sqrt{2}-1\}$
Từ đó ta tìm được $(x,y,z)=(2,\sqrt{2}-1,-\sqrt{2}-1)$ và các hoán vị !

[nthoangcute]

2. Hình như sai đề hoặc là nghiệm quá lẻ !
_________
Hướng giải:
Từ PT(1) suy ra $y=\frac{-2x}{x^2-1}$
Từ PT(2) suy ra $z=\frac{-2y}{y^2-1}=\frac{-4x(x-1)(x+1)}{(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)}$
Từ PT(3) suy ra $\frac{-x(x^2+1)(x^6-21x^4+35x^2-7)}{(x^2+2x-1)^2(x^2-2x-1)^2}=0$
Đến đây thì có thể giải được, nhưng mệt đấy !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 22-08-2012 - 20:38