Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.Trên tia HA,HB,HC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho HM=BC; HN =AC; HP=AB.chứng minh H là trọng tâm của tam giác MNP
#2
Đã gửi 28-08-2012 - 17:24
chrome98
-
- Thành viên
-
- 258 Bài viết
Mãi Mãi Việt Nam
Giải:
Bạn chứng minh
1.Nếu trong $\triangle ABC$, $M$ là trọng tâm $\Leftrightarrow S_{MAB}=S_{MAC}=S_{MBC}$.
2. Nếu $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có $\angle A+\angle A'=180^{\circ}\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{AB.AC}{A'B.A'C}$
Áp dụng, ta có: $\angle BHC+\angle BAC=180^{\circ}\Rightarrow \frac{S_{NHP}}{S_{BAC}}=\frac{HN.HP}{BA.CA}=1\Rightarrow S_{NHP}=S_{BAC}$.
Tương tự, ta có, $S_{MHP}=S_{MHN}=S_{ABC}$.
Do đó theo 1, ta có $H$ là trọng tâm $\triangle MNP$.
_________
@BlackSelena: một bổ đề rất hay mà giờ mình mới biết
.
Bạn chứng minh
1.Nếu trong $\triangle ABC$, $M$ là trọng tâm $\Leftrightarrow S_{MAB}=S_{MAC}=S_{MBC}$.
2. Nếu $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ có $\angle A+\angle A'=180^{\circ}\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{AB.AC}{A'B.A'C}$
Áp dụng, ta có: $\angle BHC+\angle BAC=180^{\circ}\Rightarrow \frac{S_{NHP}}{S_{BAC}}=\frac{HN.HP}{BA.CA}=1\Rightarrow S_{NHP}=S_{BAC}$.
Tương tự, ta có, $S_{MHP}=S_{MHN}=S_{ABC}$.
Do đó theo 1, ta có $H$ là trọng tâm $\triangle MNP$.
_________
@BlackSelena: một bổ đề rất hay mà giờ mình mới biết
.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 28-08-2012 - 18:28
- BlackSelena, Tru09 và tranmanh thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
