6 replies to this topic

[C a c t u s]

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=2008$
Chứng minh rằng:
$\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3} \ge 2008$

[triethuynhmath]

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=2008$
Chứng minh rằng:
$\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3} \ge 2008$

Bài này cũng khá dễ.
Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức:
$x^4+y^4\geq x^3y+xy^3\Rightarrow 2(x^4+y^4)\geq x^4+y^4+x^3y+xy^3=(x^3+y^3)(x+y)\Rightarrow \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x+y}{2}$
Chứng minh tương tự,cộng vế theo vế ta có:
$\sum \frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\geq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=2008(Q.E.D)$
P/s: Kĩ thuật chia "nhỏ" bất đẳng thức cần chứng minh ra để giải được gọi là kĩ thuật "ghép đối xứng"

[gdngothehieu]

Làm sao để chứng minh bất đẳng $x^4+y^4 \geq x^3y + xy^3$ thức được vậy

Edited by gdngothehieu, 03-09-2012 - 14:05.

[Gioi han]

Làm sao để chứng minh bất đẳng $x^4+y^4 \geq x^3y + xy^3$ thức được vậy

$x^{4}+y^{4} \geq x^{3}y +xy^{3}$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4} \geq xy(x^{2}+y^{2}) \geq 2x^{2}y^{2}$ (BĐT Cô-si)

[tim1nuathatlac]

Làm sao để chứng minh bất đẳng $x^4+y^4 \geq x^3y + xy^3$ thức được vậy

$\Leftrightarrow \left ( x^{3}-y^{3} \right )\left ( x-y \right )\geq 0$ luôn đúng

[L Lawliet]

$\Leftrightarrow \left ( x^{3}-y^{3} \right )\left ( x-y \right )\geq 0$ luôn đúng

Cái này phải đi một bước nữa mới đúng
$\left ( x^3-y^3 \right )\left ( x-y \right )=\left ( x^2+xy+y^2 \right )\left ( x-y \right )^2\geq 0$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì: $x^2+xy+y^2=\left ( x+\dfrac{y}{2} \right )^2+\dfrac{3y^2}{4}$.

[triethuynhmath]

Cái này phải đi một bước nữa mới đúng
$\left ( x^3-y^3 \right )\left ( x-y \right )=\left ( x^2+xy+y^2 \right )\left ( x-y \right )^2\geq 0$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì: $x^2+xy+y^2=\left ( x+\dfrac{y}{2} \right )^2+\dfrac{3y^2}{4}$.

Cái chỗ đó luôn đúng luôn rồi mà Nếu $x \geq y\Rightarrow (x-y)(x^3-y^3)\geq 0$
Nếu $x < y\Rightarrow x-y,x^3-y^3 <0\Rightarrow (x-y)(x^3-y^3)> 0$