Chủ đề này có 1 trả lời

[quynh chi]

nếu hiệu các lũy thừa bậc 3 của 2 STN liên tiếp là bình phương của 1 STN nào đó thì STN đó biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương của 2 stn liên tiếp

[perfectstrong]

Lời giải:
Gọi $x$ là số tự nhiên sao cho tồn tại $a \in \mathbb{N}:(a+1)^3-a^3=x^2$
\[
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x^2 = 3a^2 + 3a + 1 \\
\Leftrightarrow 3a^2 + 3a + 1 - x^2 = 0 \\
\end{array}
\]
Để phương trình có nghiệm $a$ tự nhiên thì
\[
\begin{array}{l}
\Delta _a = 12x^2 - 3 = t^2 \left( 1 \right) \\
\Rightarrow 3|t \Rightarrow t = 3t_2 \left( {t_2 \in N} \right) \\
\left( 1 \right) \Rightarrow 4x^2 - 1 = 3t^2 \Leftrightarrow \left( {2x- 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 3t^2 \left( 2 \right) \\
\end{array}
\]
Mặt khác vì $(2x+1;2x-1)=1$ (do 2 số là 2 số lẻ liên tiếp) nên
\[
\left[ \begin{array}{l}
TH1:\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 = u^2 \\
2x + 1 = 3v^2 \\
\end{array} \right. \\
TH2:\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 = 3u^2 \\
2x + 1 = v^2 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.\left( \begin{array}{l}
u;v \in N \\
uv = t_2 \\
\end{array} \right)
\]
Nếu
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 = 3u^2 \\
2x + 1 = v^2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow 2x \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow x \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow v^2 \equiv 2\left( {{\rm{mod3}}} \right):False
\]
Do đó
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 = u^2 \\
2x + 1 = 3v^2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{u^2 + 1}}{2}
\]
Chú ý rằng $u$ lẻ nên
\[
x = \left( {\frac{{u - 1}}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{u + 1}}{2}} \right)^2
\]