Chủ đề này có 6 trả lời

[tieutuhamchoi98]

Tìm hàm số $f(x):R \rightarrow R$ thỏa mãn: $f(f(x)) = f(x) + x$ với mọi $x$ thuộc $R$

---
Lời nhắn từ BQT: Bạn phải đặt tiêu đề theo quy định! Những bài vi phạm sau sẽ bị xóa mà không có nhắc nhở! Cảm ơn.

[Crystal]

Tìm hàm số $f(x):R \rightarrow R$ thỏa mãn: $f(f(x)) = f(x) + x$ với mọi $x$ thuộc $R$

Phương trình đã cho viết thành: $f\left( {f\left( x \right)} \right) - f\left( x \right) = x$

Vế trái là một hàm tuyến tính nên giả sử: $f\left( x \right) = ax + b$. Thay vào ta được:
\[a\left( {ax + b} \right) + b - \left( {ax + b} \right) = x \Leftrightarrow {a^2}x + ab - ax = x \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a} \right)x + ab = x\]
Đống nhất hệ số: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - a = 1\\
ab = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\\
b = 0
\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x$. Thử lại thấy đúng.

[NTHMyDream]

Phương trình đã cho viết thành: $f\left( {f\left( x \right)} \right) - f\left( x \right) = x$

Vế trái là một hàm tuyến tính nên giả sử: $f\left( x \right) = ax + b$. Thay vào ta được:
\[a\left( {ax + b} \right) + b - \left( {ax + b} \right) = x \Leftrightarrow {a^2}x + ab - ax = x \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a} \right)x + ab = x\]
Đống nhất hệ số: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - a = 1\\
ab = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\\
b = 0
\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x$. Thử lại thấy đúng.

anh ơi sao biêt đó là hàm tuyến tính

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnThuy: 18-10-2012 - 22:43

[hungmitom]

Phương trình đã cho viết thành: $f\left( {f\left( x \right)} \right) - f\left( x \right) = x$

Vế trái là một hàm tuyến tính nên giả sử: $f\left( x \right) = ax + b$. Thay vào ta được:
\[a\left( {ax + b} \right) + b - \left( {ax + b} \right) = x \Leftrightarrow {a^2}x + ab - ax = x \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a} \right)x + ab = x\]
Đống nhất hệ số: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - a = 1\\
ab = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\\
b = 0
\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x$. Thử lại thấy đúng.

mong bạn chứng minh hàm tìm được là duy nhất để bài giải trọn vẹn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungmitom: 18-10-2012 - 22:26

[hungmitom]

Phương trình đã cho viết thành: $f\left( {f\left( x \right)} \right) - f\left( x \right) = x$

Vế trái là một hàm tuyến tính nên giả sử: $f\left( x \right) = ax + b$. Thay vào ta được:
\[a\left( {ax + b} \right) + b - \left( {ax + b} \right) = x \Leftrightarrow {a^2}x + ab - ax = x \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a} \right)x + ab = x\]
Đống nhất hệ số: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - a = 1\\
ab = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\\
b = 0
\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x$. Thử lại thấy đúng.

nhưng làm sao chúng ta chứng minh hàm tìm được là duy nhất vậy. mong bạn viết thêm cho đầy đủ.

[giapvansu]

Phương trình đã cho viết thành: $f\left( {f\left( x \right)} \right) - f\left( x \right) = x$

Vế trái là một hàm tuyến tính nên giả sử: $f\left( x \right) = ax + b$. Thay vào ta được:
\[a\left( {ax + b} \right) + b - \left( {ax + b} \right) = x \Leftrightarrow {a^2}x + ab - ax = x \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a} \right)x + ab = x\]
Đống nhất hệ số: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - a = 1\\
ab = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\\
b = 0
\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}x$. Thử lại thấy đúng.

Bài này theo mình ta còn phải chứng minh $f(x)$ là một hàm số tuyến tính bởi tính chất tuyến tính của nó không quá hiển nhiên
Theo m có thể chứng minh dơn giản như sau
Giả sử $f(x)$ là không tuyến tính giả sử $\deg{f(x)}=n$ khi đó $\deg{f(x)}\geq2$
thay vào hai vế của phương trình hàm ta thấy
+ bậc của vế phải là $2n$
+ Bậc của vế trái là $n$
Điều này dẫn tới sự mâu thuẫn từ đó tính duy nhất của hàm số $f(x)$ cũng được chứng minh.

[minhtuyb]

Bài này theo mình ta còn phải chứng minh $f(x)$ là một hàm số tuyến tính bởi tính chất tuyến tính của nó không quá hiển nhiên
Theo m có thể chứng minh dơn giản như sau
Giả sử $f(x)$ là không tuyến tính giả sử $\deg{f(x)}=n$ khi đó $\deg{f(x)}\geq2$
thay vào hai vế của phương trình hàm ta thấy
+ bậc của vế phải là $2n$
+ Bậc của vế trái là $n$
Điều này dẫn tới sự mâu thuẫn từ đó tính duy nhất của hàm số $f(x)$ cũng được chứng minh.

"Bậc của hàm" khác với "bậc của đa thức" nhé bạn!
Hàm có thể không là một đa thức. VD: $f(x)=2^x$.
Thực ra bài gốc của bài này chỉ là tìm 2 hàm số thỏa mãn điều kiện trên. Còn tìm tất cả thì chủ quan mình thấy nó không khả quan.