Chủ đề này có 14 trả lời

[hptai1997]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt
_______________
ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN KHỐI 10
NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1.(3đ)
a.Cho m là một số nguyên lẻ chứng minh: $m^3+3m^2-m-3$ chia hết cho 48
b.Không dùng máy tính chứng minh rằng:
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}>\sqrt{2012}$
Bài 2. (6đ) Giaỉ phương trình và hệ phương trình sau:
a.$3x^2+2x+3-(3x+1)\sqrt{x^2+3}=0$
b. $\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ (x^2+1)(x+y-2)=y \end{cases}$
Bài 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức $P=\frac{x^4+2x^3+8x+16}{x^4-2x^3+8x^2-8x+16}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 4.(4đ) Trên mặt phẳng cho 100 điểm tùy ý mà khoảng cách giữa các điểm đều khác nhau. Nối mỗi điểm với điểm gần nó nhất bằng một đoạn thẳng. Chứng minh rằng không thể có quá 5 đoạn thẳng đã nối đồng qui tại một điểm.
Bài 5.(4đ)
a. Trên các cạnh AB, CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M, N sao cho:
$AM=CN=\frac{AB}{3}$. Gọi K là giao điểm của AN và DM
Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.
b. Cho tam giác ABC, gọi I, J là hai điểm xác định bởi :
$\underset{IA}{\rightarrow}$=$\underset{2IB}{\rightarrow}$: $\underset{3JA}{\rightarrow}$=$\underset{-2JC}{\rightarrow}$
Hãy biểu diễn véctơ $\underset{IJ}{\rightarrow}$ theo hai vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$ và $\underset{AC}{\rightarrow}$
-------HẾT-------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hptai1997: 02-09-2012 - 21:00

[longqnh]

Bài 2. (6đ) Giaỉ phương trình và hệ phương trình sau:
a.$3x^2+2x+3-(3x+1)\sqrt{x^2+3}=0$

Đặt $t=\sqrt{x^2+3}$
PT trở thành:
$t^2-(3x+1)t+2x^2+2x=0$
$<=>t=2x$ v $t=x+1$
Trả giá trị lại $t$ tìm dc $x=\sqrt{3}$ v $x=1$

[tieulyly1995]

Bài 2. (6đ) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
b. $\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ (x^2+1)(x+y-2)=y \end{cases}$

Tham khảo tại đây

[diepviennhi]

bài 1a> Do m lẻ nên $m=2k+1$ thế vài biểu thức ta được $8k(k+1)(k+2)\vdots 48\forall k$
Bài 3: xét $x=0\Rightarrow P=1$
Xét $x\neq 0\Rightarrow P=\frac{x^{2}+2x+\frac{8}{x}+\frac{16}{x^{2}}}{x^{2}-2x-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^{2}}+8}$
Đến đây đặt ẩn $x+\frac{4}{x}=t$ thế vào P là được biểu thức bậc 2
Dùng phương pháp miền giá trị coi t là ẩn sẽ tìm được cực trị

[Tru09]

b.Không dùng máy tính chứng minh rằng:
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}>\sqrt{2012}$

Chén nào:
DÙng BDT CAuchy
$\Rightarrow B > \frac{2012^2}{\sqrt{1} +... +\sqrt{2012}} > \frac{2012^2}{2012\sqrt{2012}} > \sqrt{2012}$
--------------------------------
Bài 1
a,
$m^3 +3m^2 -m-3 \vdots 48$
$\Leftrightarrow m^3 +3m^2 -m-3 \vdots 16$ và $vdots 3$
@~ :Chứng minh chia hết cho 3:
A=(m^2 -1)(m+3)
Ta luôn có m^2 chia 3 có số dư là 0 hoặc 1
TH1: $m \equiv 0$ mod 3
$\Rightarrow A \vdots 3$
Th2 : $m \equiv 1$ mod 3
$\Rightarrow m^2 -1 \vdots 3 \Rightarrow A \vdots 3$
TH3 $m \equiv 2$ mod 3
$\Rightarrow m^2 -1 \vdots 3 \Rightarrow A \vdots 3$
@~ Chứng minh chia hết cho 16
Vì m lẻ $\Rightarrow m \equiv 1$ hoặc 3 mod 4
$\Rightarrow m^2 \equiv 1 $
$\Rightarrow m^2 -1 \vdots 4$
** :$m \equiv 1$ mod 4
$\Rightarrow m +3 \vdots 4$
Và từ đây $\Rightarrow A \vdots 16$
** $m \equiv 3$ mod 4
$\Rightarrow m =4k +3$
Thay vào $A \Rightarrow A =((4k+3)^2 -1)(4k+6) =(16k^2 +24k +8)(4k+6)=16k^3 .4 +24.k.4 +32k +16.6.k +144k +48=16k^3 .4 +24.k.4 + +16.6.k +176k +48 \vdots 16$
Vậy $\Rightarrow A \vdots 48$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 02-09-2012 - 11:27

[triethuynhmath]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG
Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt
_______________
ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN KHỐI 10
NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1.(3đ)
a.Cho m là một số nguyên lẻ chứng minh: $m^3+3m^2-m-3$ chia hết cho 48
b.Không dùng máy tính chứng minh rằng:
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}>\sqrt{2012}$

Đề này khá dễ nhỉ:
Câu 1:
a)$m^3+3m^2-(m+3)=(m+3)(m-1)(m+1)$
3 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 6, một số chia hết cho 2, một số chia hêt cho 4 => đpcm
b)Dùng BĐT :
$\frac{1}{\sqrt{n}}> 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}$
Ta có:
VT $> 2\sqrt{2012}-2> \sqrt{2012}(Q.E.D)$
----
$L$: Không quote hết bài nhé!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 02-09-2012 - 11:22

[triethuynhmath]

Bài 2:
a)Đặt $a=\sqrt{x^2+3}$ ta có PT:
$a^2-(3x+1)a+2x+2x^2=0\Leftrightarrow (a-2x)(a-x-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2x \\ a=x+1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 \\ x=-1 \end{bmatrix}$
b)Đặt $a=x^2+1,b=x+y-2$
Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} a+ab^2=2ab \\ ab=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2+1=2b(a > 0) \\ ab=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (b-1)^2=0 \Leftrightarrow b=1 \\ a=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=3 \\ x^2+1=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=3-x \\ x^2+x-2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=2 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix} x=-2 \\ y=5 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}(Q.E.D)$

[triethuynhmath]

Bài 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức $P=\frac{x^4+2x^3+8x+16}{x^4-2x^3+8x^2-8x+16}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Có cách khác cho bài này:
$P=\frac{(x+2)^2(x^2-2x+4)}{(x^2+4)(x^2-2x+4)}=\frac{(x+2)^2}{x^2+4}\geq 0$
Dấu "=" khi $x=-2$
Max:
$\frac{(x+2)^2}{x^2+4}=\frac{x^2+4x+4}{x^2+4}=2-\frac{(x-2)^2}{x^2+4}\leq 2$ Dấu "=" khi $x=2$
P/s: Phù được 12 đ rồi

[triethuynhmath]

a. Trên các cạnh AB, CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M, N sao cho:
$AM=AN=\frac{AB}{3}$. Gọi K là giao điểm của AN và DM
Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.

Sao có thể N nằm trên CD được bạn vì lúc đó $AN >AD$ nên $AN> BC!!!

[triethuynhmath]

b. Cho tam giác ABC, gọi I, J là hai điểm xác định bởi :
$\underset{IA}{\rightarrow}$=$\underset{2IB}{\rightarrow}$: $\underset{3JA}{\rightarrow}$=$\underset{-2JC}{\rightarrow}$
Hãy biểu diễn véctơ $\underset{IJ}{\rightarrow}$ theo hai vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$ và $\underset{AC}{\rightarrow}$

Chém bài vecto này luôn:
$\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{AB},\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
Ta có:
$3\overrightarrow{JA}=-2\overrightarrow{JB}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IJ}=-2\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow 5\overrightarrow{IJ}=3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=-6\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}-8\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{8}{5}\overrightarrow{AB}(Q.E.D)$

[ninhxa]

Cho mình hỏi sao thi hsg sớm thế ạ?

[hptai1997]

Cho mình hỏi sao thi hsg sớm thế ạ?

Để chọn đội tuyển thi olympic 30/4 bạn ạ!

[ninhxa]

Để chọn đội tuyển thi olympic 30/4 bạn ạ!

Cho em spam nốt câu. Nhưng sao đã chọn từ đầu năm rồi?

[hptai1997]

Cho em spam nốt câu. Nhưng sao đã chọn từ đầu năm rồi?

trường mình kĩ tính lắm bạn ạ...để việc thi cử có hiệu quả

[triethuynhmath]

Để chọn đội tuyển thi olympic 30/4 bạn ạ!

Nếu như đề dùng để chọn Đội tuyển thi Olympic 30/4 thì chắc lấy điểm cao lắm.Bạn có thi không,nếu có thì chúc bạn thi tốt nhé

Bài 5.(4đ)
a. Trên các cạnh AB, CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M, N sao cho:
$AM=CN=\frac{AB}{3}$. Gọi K là giao điểm của AN và DM
Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.

Nếu bạn đã sửa đề thì minh xin chém:
Trên cạnh BC lấy điểm J sao cho $BJ=\frac{1}{3}BC$
Ta dễ dàng chứng minh: $\Delta ABJ=\Delta DAM(cgc)\Rightarrow \angle MAJ=\angle ADM\Rightarrow AJ \perp DM \Rightarrow AJ \perp DK$
HOàn toàn tương tự ta cm được:$DJ \perp AK$
Vậy J là trực tâm tam giác ADK hay ta đã có đpcm.
P/s:Mình cũng rất muốn thi Olympic 30/4 nhưng trường mình khó nên chắc không được đi thi
Như vậy là chỉ còn câu 4 chưa ai giải quyết