Chủ đề này có 6 trả lời

[T M]

Bài toán. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+3}}=\sqrt{3}$$
___

Tổng quát với dạng bài

$$x+\frac{n^2x}{\sqrt{x^2+n^2}}=n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 05-09-2012 - 11:02

[minhdat881439]

Bài toán. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+3}}=\sqrt{3}$$
___

Chém bừa vậy :
Đặt $\sqrt{x^{2}+3}=a ;a> 0$ ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+\frac{3x}{a}=\sqrt{3} & \\ a^{2}-x^{2}=3 & \end{matrix}\right.$
tới đây thế x ở pt1 vào pt2 ta thu được pt bậc 4:
$a^{4}+6a^{3}+3a^{2}-18a+27=0$ áp dụng cách giải hương trình bậc 4 của Việt ta có nghiệm thỏa là $x=\sqrt{\frac{3}{2}(7-3\sqrt{5})}$
p\s cái này chém thôi

[zipienie]

áp dụng cách giải hương trình bậc 4 của Việt ta có nghiệm thỏa là $x=\sqrt{\frac{3}{2}(7-3\sqrt{5})}$

Mình định giải bài này bằng phương pháp lượng giác hóa, đặt $x=\tan t$ $t\in(\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}$) nhưng không đẹp cho lắm
Bạn minhdat881439 có thể cho mình biết cách bạn phương trình bậc bốn trên được không, tại sao lại chỉ có một nghiệm duy nhất ? Cách của bạn Việt là cách nào vậy bạn ? cám ơn bạn trước
Theo mình nghĩ thì bài giải phương trình bậc bốn dạng bày thường áp dụng phương pháp trao đổi vai trò của ẩn số và tham số, không biết các bạn nào còn ý tưởng gì nữa không?

[T M]

Mình định giải bài này bằng phương pháp lượng giác hóa, đặt $x=\tan t$ $t\in(\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}$) nhưng không đẹp cho lắm
Bạn minhdat881439 có thể cho mình biết cách bạn phương trình bậc bốn trên được không, tại sao lại chỉ có một nghiệm duy nhất ? Cách của bạn Việt là cách nào vậy bạn ? cám ơn bạn trước
Theo mình nghĩ thì bài giải phương trình bậc bốn dạng bày thường áp dụng phương pháp trao đổi vai trò của ẩn số và tham số, không biết các bạn nào còn ý tưởng gì nữa không?

Ý tưởng đưa về lượng giác là hướng đi của bài này . Bạn suy nghĩ thêm chút nữa nhé, với lại điều kiện bạn đưa ra chưa hợp lí rồi, $t \in (-\pi/2 ; \pi/2)$ mới quét hết nghiệm của $x$ chứ nhỉ

[Mrnhan]

Bài toán. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+3}}=\sqrt{3}$$
___

Tổng quát với dạng bài

$$x+\frac{n^2x}{\sqrt{x^2+n^2}}=n$$

em giải tổng quát thử:
đk: x>0
chia cả 2 vế cho x>0
đặt $t=\frac{x}{n}$
ta có ngay: $\frac{n}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{1}{t}-1$
đk: 0<t<1
bình phương 2 vế ta có: $t^4-2t^2+(2-n^2)t^2-2t^2+1=0$
đặt $u=t+\frac{1}{t}$ với $u\geq2$
ta có ngay $(u-1)^2=(\sqrt{n^2+1})^2$
từ đk ta được $u=1+\sqrt{n^2+1}$ và $t=\frac{\sqrt{n^2+1}+1-\sqrt{n^2-2+2\sqrt{n^2+1}}}{2}$
vậy $x=\frac{n(\sqrt{n^2+1}+1-\sqrt{n^2-2+2\sqrt{n^2+1}})}{2}$

[T M]

Bài toán. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+3}}=\sqrt{3}$$
___

Tổng quát với dạng bài

$$x+\frac{n^2x}{\sqrt{x^2+n^2}}=n$$

Lâu rồi mà không ai ngó ngàng =; Mình đưa ra lời giải cho bài toán cụ thể, bài tổng quát dành lại cho các bạn

Bài toán. Giải phương trình

$$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2+3}}=\sqrt{3}$$

Lời giải.

Đặt $\sqrt{3}tank=x;\, \, \, \, k \in \left ( \frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right )$

Được

$$\text{PT}\Rightarrow \sqrt{3}tank+\frac{3\sqrt{3}tank}{\sqrt{3(tan^2k+1)}}=\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow tank+\sqrt{3}sink=1 \\ \Leftrightarrow sink+\sqrt{3}sinkcosk=cosk$$

Đặt

$$sink-cosk=t\Rightarrow sinkcosk=\frac{t^2-1}{-2}$$

Đến đây là một phương trình bậc 2 ẩn $t$, giải ngược lại là xong .........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 06-09-2012 - 23:17

[zipienie]

Phương trình lượng giác của luxubuhl khi tìm được nghiệm dạng lượng giác thế ngược lại để tìm $x$ dưới dạng căn thức thì gần như ... không thể . Bạn có thể giải cụ thể bài này không? Xin cảm ơn bạn.