T\$ Ta có: a= 2RsinA. b =2RsinB. c=2RsinC$
Thay vào đề, BTVT:
$\sum 8sin^{3}A.sin\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}=6\sqrt{3}sinA.sinB.sinC$
Vì A,B,C là 3 góc tam giác nên áp dụng được bất đẳng thức cô si cho vế trái thì:
$6\sqrt{3}sinA.sinB.sinC=$$\sum 8sin^{3}A.sin\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}$$\geq 24\sqrt[3]{sinA.sinB.sinC.\prod (sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2})}$
=$12sinA.sinB.sinC\sqrt[3]{sinA.sinB.sinC}$
hay chứng minh sinA.sinB.sinC$\leq (\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}$
bất đẳng thức luôn đúng vì
sinA+sinB+sinC$\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Nên tam giác ABC đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congson21598: 24-07-2014 - 10:53