Chủ đề này có 3 trả lời

[manucian96]

Cho phương trình: $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$. Sử dụng phương pháp tọa độ tìm những giá trị của m để phương trình có nghiệm.

[nthoangcute]

Cho phương trình: $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$. Sử dụng phương pháp tọa độ tìm những giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Vẽ đồ thị hàm số ta được đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$ là một đường cong kéo dài về hai hướng khác nhau của trục Ox, không có điểm uốn.
Và cũng từ đồ thị dễ dàng thấy $y$ nằm giữa hai đường thẳng $y=1$ và $y=-1$ cho đến tận đến khi $x$ vô cùng.
Suy ra với $-1 <m<1$ thì phương trình có nghiệm

[Mrnhan]

Vẽ đồ thị hàm số ta được đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$ là một đường cong kéo dài về hai hướng khác nhau của trục Ox, không có điểm uốn.
Và cũng từ đồ thị dễ dàng thấy $y$ nằm giữa hai đường thẳng $y=1$ và $y=-1$ cho đến tận đến khi $x$ vô cùng.
Suy ra với $-1 <m<1$ thì phương trình có nghiệm

có điểm uốn tại x=0, y=0

[Ispectorgadget]

Cho phương trình: $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m(1)$. Sử dụng phương pháp tọa độ tìm những giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Cách không sử dụng tọa độ
Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$
$f(x)$ là hàm lẻ nên $f(x)$ có TXĐ $R$
Lại có $\sqrt{x^2+x+1}>\sqrt{x^2-x+1}\Rightarrow f(x)>0$
Hơn nữa vì là hàm lẻ nên $f(-x)=-f(x)<0$
Đồng thời $f(x)=0\Rightarrow m=0$ là một nghiệm phương trình đã cho.
Nếu $m<9$ thì pt (1) trở thành $\sqrt{x^2+x+1}=m+\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow 2x-m^2=2m\sqrt{x^2-x+1}$
\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - {m^2} > 0\\
4{x^2} - 4x{m^2} + {m^4} = 4{m^2}({x^2} - x + 1)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m > m\\
4({m^2} - 1){x^2} = {m^2}({m^2} - 4)
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
2x > {m^2}\\
{x^2} = \frac{{{m^2}({m^2} - 4)}}{{{m^2} - 1}}
\end{array} \right.({m^2} \ne 1)\]
Phương trình (1) có nghiệm $x>0$ khi và chỉ khi thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} > {m^4}\\
{x^2} = \frac{{{m^2}({m^2} - 4)}}{{{m^2} - 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{m^2}({m^2} - 4)}}{{{m^2} - 1}} > {m^4}\\
\left[ \begin{array}{l}
0 < {m^2} < 1\\
{m^2} > 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
$\iff m^2<1 \iff m\in [0;1] $ do $m>0$
Theo trên $f(x)$ là hàm lẻ nên suy ra pt (1) có nghiệm $x<0$ với $m\in (-1;0)$
Vậy pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi $m\in (-1;1)$