Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng tam giác $AOB$ có diện tích nhỏ nhất...

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
chinhanh9

chinhanh9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
Cho góc $xOy$ và điểm $M$ thuộc miền trong của góc. Qua $M$ dựng đường thẳng cắt các tia $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng tam giác $AOB$ có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các tam giác tạo bởi các tia $Ox, Oy$ và một đường thẳng bất kì qua $M$.

>:)  >:)  >:)    HỌC ĐỂ KIẾM TIỀN    >:)  >:)  >:) 


#2
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Đề bài toán này được "chế" lại từ một bài toán quen thuộc.
Cho $\angle xOy$ và điểm $M$ cố định thuộc miền trong góc đó. Đường thẳng $d$ quay xung quanh $O$ cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$.
Tìm cách dựng đường thẳng $d$ để $S_{AOB}$ min.
__
Lời giải:
Để chứng minh bài toán này, ta xài tới một bổ đề quen thuộc sau
Cho $\triangle ABC$. Trên $BC$ lấy $M$ bất kì. Đường thẳng qua $M$ song song $AB,AC$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $P,Q$.
Khi đó ta có $S_{APMQ} \leq \frac{S_{ABC}}{2}$
Chứng minh: không mất tính tổng quát, giả sử $MB < MC$.
Trên đoạn $MC$ lấy điểm $H$ sao cho $MH = MB$. Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $K$.
Dễ dàng chứng minh $\triangle QMB = \triangle GMH$
Ta có $2S_{APMQ} = S_{AKGQ} = S_{AKHMQ} + S_{GHM} = S_{AKHMQ} + S_{QBM} = S_{AKHB} < S_{ABC}$
Vậy bổ đề chứng minh, đẳng thức xảy ra khi $M$ là trung điểm BC.
Áp dụng vào bài toán. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $Ox,Oy$ cắt $Oy,Ox$ lần lượt tại $P,N$
Áp dụng bổ đề trên, ta có $S_{AOB} \geq 2S_{MNOP}$
Mà $M$ cố định nên $S_{MNOP}$ cố định.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là trung điểm $AB$.
*Bonus cách dựng: dựng đường song song từ $M$ đến 2 tia của góc rồi lấy đổi xứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 12-09-2012 - 21:35





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh