Chủ đề này có 2 trả lời

[minhson95]

GPT:

$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$

[zipienie]

Đặt $u=\sqrt{2x+3}>0$ và $v=\sqrt{x+1}>0$ khi đó phương trình đã cho trở thành: $$u+v=u^2+v^2+2uv-20$$ $\Leftrightarrow $ $$(u+v)^2-(u+v)-20=0$$ Phương trình này dễ dàng giải được, sau đó ta tìm được $u+v=-4$ (loại vì $u+v>0$) và $u+v=5$.
Với $u+v=5\Rightarrow \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5 $ (phương trình này là dạng cơ bản có nhiều cách giả ví dụ như bình phương hai vế,..., nhưng mình xin giải theo cách sau).Xét hàm $f(x)=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}$ là hàm đồng biến nên phương trình $f(x)=5$ có không qua một nghiệm, mặt khác ta thấy $x=3$ là nghiệm và đó cũng là nghiệm duy nhất cần tìm.
Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

[faraanh]

ta có thể giải bài trên bằng cách nhân với lượng liên hơp, phương trình ban đầu trở thành:$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1} -2=3x-9 +2\sqrt{2x^2+5x+3}-12 \Leftrightarrow (2(x-3))/(\sqrt{2x+3}+3)+(x-3)/(\sqrt{x+1}+2)=3(x-3)+2\tfrac{(x-3)(2x+11)}{\sqrt{2x^2+5x+3}+6}$
lâý (x-3) làm thừa số chung, được phương trình tích có nghiệm duy nhất là x=3, ta còn có thể chứng minh được thừa số còn lại sau khi lấy thừa số chung là khác 0