cho $x,y,z \geq 0,x+y+z=3$
Tìm GTNN của:
P=$2(x^{2}+y^{2}+x^{2})+x^{2}y^{2}z^{2}$
-----
Lời nhắn từ BQT: Bạn phải đặt tiêu đề theo quy định! Những bài vi phạm sau sẽ bị xóa mà không có nhắc nhở! Cảm ơn.
Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=2(x^{2}+y^{2}+x^{2})+x^{2}y^{2}z^{2}$
Bắt đầu bởi lovecat95, 18-09-2012 - 17:25
#2
Đã gửi 18-09-2012 - 17:44
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
Đầu tiên ta chứng minh: $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$
Thật vậy theo nguyên lí Dirichle tồn tại $2$ trong $3$ số $a,b,c$ cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$
Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$
sử dụng hằng đẳng thức :
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 - 2(ab+bc+ca) = (a-b)^2 +(c-1)^2+ 2c(a-1)(b-1) \geq 0$
(Luôn đúng)
Quay trở lại bài toán.Áp dụng bất đẳng thức phụ trên cùng $AM-GM$ ta có:
$$2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2c^2+2\geq a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2+c^2+2abc+1)$$
$$\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=9$$
Vậy nên $2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2c^2\geq 7$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$ $\square$
Thật vậy theo nguyên lí Dirichle tồn tại $2$ trong $3$ số $a,b,c$ cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$
Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$
sử dụng hằng đẳng thức :
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 - 2(ab+bc+ca) = (a-b)^2 +(c-1)^2+ 2c(a-1)(b-1) \geq 0$
(Luôn đúng)
Quay trở lại bài toán.Áp dụng bất đẳng thức phụ trên cùng $AM-GM$ ta có:
$$2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2c^2+2\geq a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2+c^2+2abc+1)$$
$$\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=9$$
Vậy nên $2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2c^2\geq 7$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-09-2012 - 17:44
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
