Cho $3$ số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{y}} + \dfrac{1}{\sqrt{z}} = \dfrac{1}{\sqrt{xyz}}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P = \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x} + \dfrac{2\sqrt{y}}{1+y} + \dfrac{\sqrt{z}-1}{z+1}$$
Tìm GTLN của $ \dfrac{2\sqrt{x}}{1+x} + \dfrac{2\sqrt{y}}{1+y} + \dfrac{\sqrt{z}-1}{z+1}$
Bắt đầu bởi tf-mahname, 25-09-2012 - 01:36
#1
Đã gửi 25-09-2012 - 01:36
tf-mahname
-
- Thành viên
-
- 11 Bài viết
Binh nhì
- Mai Duc Khai, WhjteShadow, BoFaKe và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 26-11-2012 - 18:31
lehoanghiep
-
- Thành viên
-
- 196 Bài viết
Trung sĩ
Giả thiết được viết lại là $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$.
Do đó tồn tại tam giác $ABC$ sao cho $\sqrt{x}=tan\frac{A}{2};\sqrt{y}=tan\frac{B}{2};\sqrt{z}=tan\frac{C}{2}$.
Ta có $P=sinA+sinB-cosC=2cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-cosC\leq 2cos\frac{C}{2}-2cos^{2}\frac{C}{2}+1=\frac{3}{2}-2\left ( cos\frac{C}{2}-\frac{1}{2} \right )^{2}\leq \frac{3}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=tan^{2}\frac{\pi}{12}=7-4\sqrt{3};z=tan^{2}\frac{\pi}{3}=3$.
Biểu thức cuối là $\frac{z-1}{z+1}$ (Theo mình là thế
).
Do đó tồn tại tam giác $ABC$ sao cho $\sqrt{x}=tan\frac{A}{2};\sqrt{y}=tan\frac{B}{2};\sqrt{z}=tan\frac{C}{2}$.
Ta có $P=sinA+sinB-cosC=2cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-cosC\leq 2cos\frac{C}{2}-2cos^{2}\frac{C}{2}+1=\frac{3}{2}-2\left ( cos\frac{C}{2}-\frac{1}{2} \right )^{2}\leq \frac{3}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=tan^{2}\frac{\pi}{12}=7-4\sqrt{3};z=tan^{2}\frac{\pi}{3}=3$.
Biểu thức cuối là $\frac{z-1}{z+1}$ (Theo mình là thế
).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 26-11-2012 - 18:34
- Mai Duc Khai yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
