Chủ đề này có 2 trả lời

[25 minutes]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$\
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ac$
————

Công thức kẹp trong $ bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 26-09-2012 - 08:07

[duongvanhehe]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ac$
————

Trước hết ta chứng minh BĐT sau:
$(a+b+c)^{3}(a+b)(b+c)(c+a)\geq (ab+bc+ca)^{2}(2(a+b+c)^{2}+2(ab+bc+ca))$
Do $(a+b+c)^{3}(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8(a+b+c)^{4}(ab+bc+ca)}{9}$
nên ta chỉ cần chứng minh :$\frac{4(a+b+c)^{4}}{9}\geq (ab+bc+ca)((a+b+c)^{2}+ab+bc+ca)$ (cái này luôn đúng )
.......
Điều kiện $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1\Leftrightarrow 2+2(a+b+c)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$
Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng:
Giả sử $a+b+c\leq ab+bc+ca$
Sử dụng kết quả trên ta có
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{2(ab+bc+ca)^{2}((a+b+c)^{2}+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{3}}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}{a+b+c}\geq 2(a+b+c)+2$
(mâu thuẫn với GT)
$\Rightarrow đpcm$

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\geq 1$\
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ac$
————

Công thức kẹp trong $ bạn nhé

Theo $Cauchy-Schwarz$ $\frac{1}{b+c+1}= \frac{b+c+a^2}{(b+c+1)(b+c+a^2)}\leq \frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}$
Tương tự có 2 đánh giá nữa rồi cộng vào ta được :
$1\geq \frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq a+b+c$