Chủ đề này có 2 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài 1:Cho $a,b,c\in R$.C/m:
$$\prod (a+b-c)^{2}\geq \prod (a^{2}+b^{2}-c^{2})$$
Bài 2:Cho $a,b,c\in R^{+}$ thỏa $a+b+c=3$.C/m:
$$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 2:Cho $a,b,c\in R^{+}$ thỏa $a+b+c=3$.C/m:
$$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$$

Theo AM-GM
$$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{a+b}{c+ab}}$$
Ta sẽ chứng minh
$$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$$
Ta có $$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+b+bc+ca)^{2}}{4}=\frac{(a+b)^{2}(c+1)^{2}}{4}$$
Tương tự $$(b+ca)(c+ab)\leq \frac{(b+c)^{2}(1+a)^{2}}{4}$$
$$(c+ab)(a+bc)\leq \frac{(a+c)^{2}(b+1)^{2}}{4}$$
$$\Rightarrow (a+bc)^{2}(b+ca)^{2}(c+ab)^{2}\leq (a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\frac{(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{64}$$
Như vậy công việc còn lại là chứng minh
$$\frac{(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{64}\leq 1$$
Hay $$(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8$$
Tiếp tục áp dụng AM-GM
$$(a+1)(b+1)(c+1)\leq (\frac{a+b+c+3}{3})^{3}=(\frac{3+3}{3})^{3}=8$$
Vậy bất đẳng thứ được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 1:Cho $a,b,c\in R$.C/m:
$$\prod (a+b-c)^{2}\geq \prod (a^{2}+b^{2}-c^{2})$$

Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp $a^2,b^2,c^2$ là 3 cạnh một tam giác là đủ .
Bởi vì trong trường hợp ngược lại kết quả bài toán là hiển nhiên .
Khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau $[a^2-(b-c)^2]^2\geq (a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)$
Bằng kĩ thuật "tung tóe hóa" và nhóm ta được bất đẳng thức tương đương với :
$(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)\geq0$ . Luôn đúng.
Tương tự có 2 đánh giá nữa rồi nhân vô sau đó khai căn ta được :
$[a^2-(b-c)^2][b^2-(c-a)^2][c^2-(a-b)^2]\geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$
Chú ý rằng :
$a^2-(b-c)^2= (a-b+c)(a+b-c)= (a+b-c)(a+c-b)$
Từ đó $[a^2-(b-c)^2][b^2-(c-a)^2][c^2-(a-b)^2]= (b+c-a)^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2$
Vậy là ta có $Q.E.D$