4 replies to this topic

[be3tvb1]

cho a,b,c là các số dương TM: $a+b+c\geq abc$. CMR: ít nhất 2 trong 3 bdt sau đúng:
$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6; \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}\geq 6;\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}\geq 6$

Edited by WhjteShadow, 27-09-2012 - 14:23.

[25 minutes]

Giả sử cả 3 bdt đều sai: Ta có:$\Rightarrow 11\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )\leq 18 \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{18}{11}$
Từ giả thiết ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 1$.do $\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )^{2}\geq 3\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )\geq 3$,suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \sqrt{3}> \frac{18}{11}$,mâu thuẫn
$\Rightarrow$ Q.e.D

[be3tvb1]

mình đã thử giải như thế này rùi nhưng giả sử 1 cái đúng và 2 cái sai thì sao

[CD13]

Một cái đúng, hai cái sai: là chứng minh trực tiếp luôn rồi chứ không còn phản chứng nữa!
Có những bài toán chứng minh trực tiếp không khả thi thì chứng minh phản chứng là cách giải quyết êm đẹp!

[WhjteShadow]

Một cái đúng, hai cái sai: là chứng minh trực tiếp luôn rồi chứ không còn phản chứng nữa!
Có những bài toán chứng minh trực tiếp không khả thi thì chứng minh phản chứng là cách giải quyết êm đẹp!

Em thưa thầy đề là "ít nhất 2 trong 3 bdt sau đúng" mà ạ
Ta giả sử có 2 tr0ng 3 bất đẳng thức trên sai, chẳng hạn bất đẳng thức 1 và 2.Lúc đó ta có:
$$\frac{8}{a}+\frac{5}{b}+\frac{9}{c}< 12$$
Nhưng ta sẽ chứng minh $\frac{8}{a}+\frac{5}{b}+\frac{9}{c}\geq 12$
Thật vậy do $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 1$ nên ta cần chứng minh:
$$\left(\frac{8}{a}+\frac{5}{b}+\frac{9}{c}\right)^2\geq 144\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$$
$$\Leftrightarrow \frac{64}{a^2}+\frac{25}{b^2}+\frac{81}{c^2}\geq \frac{64}{ab}+\frac{54}{bc}$$
$$\Leftrightarrow 16\left(\frac{2}{a}-\frac{1}{b}\right)^2+9\left(\frac{1}{b}-\frac{3}{c}\right)^2\geq 0\,\,\,\text{(True)}$$
Vậy nên ta có $\frac{8}{a}+\frac{5}{b}+\frac{9}{c}\geq 12$ hay giả sử sai
Từ đó ta kết luận chắc chắn phải có 2 tr0ng 3 bất đẳng thức trên luôn đúng

Edited by WhjteShadow, 27-09-2012 - 15:00.