Chủ đề này có 1 trả lời

[henry0905]

Giải bằng vectơ
Tam giác ABC, trên a,b,c lấy M,N,P sao cho APMN là hình bình hành, BN cắt CP tại O. Chứng minh OM đi qua 1 điểm cố định.

[bastian schweinsteiger]

gọi $D$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABDC$ ta sẽ CM $A,O,D$ thẳng hàng
Đặt $\frac{BM}{BC}=\frac{BP}{BA}=\frac{AN}{AC}=k\Rightarrow \frac{AP}{AB}=1-k$
Đặt $\vec{AB}=\vec{u}$,$\vec{AC}=\vec{v}\Rightarrow \vec{BD}=\vec{v}\Rightarrow \vec{BM}=k\vec{BC}=k(\vec{AC}-\vec{AB})=-k\vec{u}+k\vec{v}$
Đặt$\vec{BO}=x\vec{BN}=x(\vec{AN}-\vec{AB})=-x\vec{u}+xk\vec{v}$
$\vec{CO}=y\vec{CP}\Rightarrow \vec{BO}=\vec{BC}+y(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{AC}-\vec{AB}+y(1-k)\vec{AB}-y\vec{AC}=(y-yk-1)\vec{u}+(1-y)\vec{v}$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &-x=y-yk-1 & \\ &xk=1-y & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{k}{k^{2}-k+1}\Rightarrow \vec{BO}=\frac{-k}{k^{2}-k+1}\vec{u}+\frac{k^{2}}{k^{2}-k+1}\vec{v}=\frac{-k(\vec{u}-\vec{v})}{k^{2}-k+1}+\frac{(k^{2}-k)\vec{v}}{k^{2}-k+1}=\frac{1}{k^{2}-k+1}\vec{BM}+\frac{k^{2}-k}{k^{2}-k+1}\vec{BD}$
Do$\frac{1}{k^{2}-k+1}+\frac{k^{2}-k}{k^{2}-k+1}=1\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bastian schweinsteiger: 29-09-2012 - 12:42