Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\geq 0\\ a+b+c=1 \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng:
$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$
Chứng minh rằng: $0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$
Bắt đầu bởi yellow, 01-10-2012 - 11:16
#1
Đã gửi 01-10-2012 - 11:16
yellow
-
- Pre-Member
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 01-10-2012 - 15:35
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Từ giả thiết $\Rightarrow a,b,c\in [0;1]$ nên $ab+bc+ac-2abc\ge 3(abc)^{\frac{2}{3}}-2abc\geq 3abc-2abc=abc\ge 0$Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\geq 0\\ a+b+c=1 \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng:
$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$
Áp dụng BĐT Schur ta có $abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$
$$\Leftrightarrow ab+bc+ac-2abc\leq \frac{1}{4}(1+abc)\leq \frac{1}{4}\begin{bmatrix}
1+\frac{(a+b+c^3)}{27}=\frac{7}{27}
\end{bmatrix}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-10-2012 - 15:36
- HÀ QUỐC ĐẠT, WhjteShadow và yellow thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
