Chủ đề này có 3 trả lời

[lovecat95]

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR:
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
-----------------------------
Chú ý tiêu đề bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 01-10-2012 - 16:43

[duongvanhehe]

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR:
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(a+b+c)(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a})\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}+\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{2}a}{c}+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{2}a}{c}+\frac{c^{2}b}{c}=\sum (\frac{a^{2}c}{b}+bc)-(ab+bc+ca)\geq \sum 2ac-(ab+bc+ca)=ab+bc+ca$
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} +\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{2}a}{c}+\frac{c^{2}b}{c}\geq \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}+ab+bc+ca=\frac{a^{3}}{b}+ab+\frac{b^{3}}{c}+bc+\frac{c^{3}}{a}+ca\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Ta có đpcm

[Secrets In Inequalities VP]

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR:
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
-----------------------------
Chú ý tiêu đề bạn nhé

Cách khác phát !
Theo C-S : $VT= \frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$
$\Leftrightarrow (a^3-2a^2b+ab^2)+(b^3-2b^2c+bc^2)+(c^3-2c^2a+ca^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geq 0$
Luôn đúng

[lehoanghiep]

BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\left ( \frac{a^{2}}{b}-2a+b \right )+\left (\frac{b^{2}}{c}-2b+c \right )+\left ( \frac{c^{2}}{a}-2c+a \right )\geq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-\left ( a+b+c \right )^{2}$$\Leftrightarrow \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{b}+\frac{\left ( b-c \right )^{2}}{c}+\frac{\left ( c-a \right )^{2}}{a}\geq \left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}$ (đúng vì $a,b,c< 1$).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.