4 replies to this topic

[yellow]

Các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{a^5+c^5+ac}\leq 1$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{a^5+c^5+ac}\leq 1$

Ta có
$a^{5}+b^{5}=(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})-a^{2}b^{2}(a+b)\geq a^{2}b^{2}(a+b)$
$$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq \sum \frac{ab}{a^{2}b^{2}(a+b)+ab} =\sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$$

Edited by HÀ QUỐC ĐẠT, 01-10-2012 - 17:57.

[donghaidhtt]

$a^{5}+b^{5}=(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})-a^{2}b^{2}(a+b)\geq a^{2}b^{2}(a+b)\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})\geq 2a^{2}b^{2}(a+b)\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})\geq 2ab(a^{3}+b^{3})\geq 2a^{2}b^{2}(a+b)\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3})\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$
Đoạn này làm rõ tí.

[Joker9999]

Đây là 1 bài trong nâng cao phát triển 9

[thedragonknight]

Ta có $VT\leq \sum \frac{ab}{a^4b+ab^4+ab}= \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3+1)}\leq \sum \frac{1}{a^2b+b^2a+abc}= \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$
P/s: Có vẻ khá na ná cách trên