Cho đường tròn tâm O bán kính $r=1$. Lấy tùy ý $100$ điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3},...,A_{100}$ trên đường tròn đã cho.
CMR: Tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho:
$MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}\geqslant100$.
CMR: Tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho:$MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}\geqslant100$.
Bắt đầu bởi hieuht2012, 02-10-2012 - 21:03
#2
Đã gửi 02-10-2012 - 21:27
duongchelsea
-
- Thành viên
-
- 142 Bài viết
Trung sĩ
Bài này CM bằng phương pháp phản chứng.Cho đường tròn tâm O bán kính $r=1$. Lấy tùy ý $100$ điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3},...,A_{100}$ trên đường tròn đã cho.
CMR: Tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho:
$MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}\geqslant100$.
Giả sử không tồn tại điểm M thoả mãn thì với mọi điểm M thuộc đường tròn tâm O thì $MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}<100$
Lấy M' đối xứng với M qua O. Tương tự ta cũng sẽ có $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}<100$
Suy ra $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}+MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}<200$
Mặt khác, ta lại có: $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}+MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}=(M'A_1+MA_1)+(M'A_2+MA_2)+(M'A_3+MA_3)+...+(M'A_{100}+MA_{100})\geq 100.MM'=200$
2 điều trên là mâu thuẫn. Do đó điều giả sử là sai.
Vì vậy ta có ĐPCM
- BlackSelena và hieuht2012 thích
#3
Đã gửi 04-10-2012 - 19:28
hieuht2012
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Bài này CM bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử không tồn tại điểm M thoả mãn thì với mọi điểm M thuộc đường tròn tâm O thì $MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}<100$
Lấy M' đối xứng với M qua O. Tương tự ta cũng sẽ có $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}<100$
Suy ra $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}+MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}<200$
Mặt khác, ta lại có: $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}+MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{100}=(M'A_1+MA_1)+(M'A_2+MA_2)+(M'A_3+MA_3)+...+(M'A_{100}+MA_{100})\geq 100.MM'=200$
2 điều trên là mâu thuẫn. Do đó điều giả sử là sai.
Vì vậy ta có ĐPCM
Lấy M' đối xứng với M qua O. Tương tự ta cũng sẽ có $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}<100$
Đoạn này em không hiểu.
QT CT
#4
Đã gửi 05-10-2012 - 20:05
duongchelsea
-
- Thành viên
-
- 142 Bài viết
Trung sĩ
Lấy M' đối xứng với M qua O tức là M' thuộc đường tròn tâm O. Mà theo giả thiết thì với mọi điểm M' thuộc đường tròn tâm O thì $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}<100$Lấy M' đối xứng với M qua O. Tương tự ta cũng sẽ có $M'A_{1}+M'A_{2}+M'A_{3}+...+M'A_{100}<100$
Đoạn này em không hiểu.
- BlackSelena yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
